תוכן העניינים
\(\:\)עקרונות מנחים לכתיבת פקודותMacros LatexCommand ruleoffset "0.5ex"width "100col%"height "1pt"
- כל פקודה תתחיל ב-MKגדולות עש מיכאל קלי (Michael Kali), וזאת משתי סיבות:
- כדי שבטבלת הקיצורים שבתוך \SpecialChar LyX תופענה כל הפקודות זו לצד זו.
- הבחירה דווקא באותיות גדולות נועדה לוודא שהפקודות אינן מתנגשות עם פקודות \SpecialChar LaTeX מקוריות.
- על הפקודות להיות קצרות ככל האפשר, וזאת כדי לאפשר את כתיבתן במהירות מבלי ליצור להן קיצור מקלדת. הסיבה לכך שלא ניצור קיצור מקלדת לכל פקודה היא שפעמים רבות ניצור פקודות שתיועדנה למקרים מסוימים מאוד, ואז יעבור זמן רב עד שנשתמש בקיצור המקלדת בפעם הבאה ולכן לא נזכור אותו - הרבה יותר פשוט לזכור את הפקודה שיצרנו מכיוון שיש לה תוכן אמיתי שקשור לפלט הרצוי מן הפקודה. סיבה נוספת היא שיצירת קיצור מקלדת לכל פקודה ולו החריגה ביותר תקשה עלינו ליצור קיצורי מקלדת לפקודות חשובות יותר.
לפיכך פקודות שימושיות מאוד שבוודאי ניצור להן קיצור מקלדת ונשתמש בו פעמים רבות אינן צריכות להיות קצרות. - כדי להקל על כתיבת פקודות שלא יצרתי להן קיצור מקלדת כתבתי קיצור מקלדת שיוצר את הקידומת של כל פקודות ה-macrosשלי ואז כל מה שנותר הוא להקיש שלוש-ארבע אותיות כדי לבחור את הפקודה הרצויה, קיצור המקלדת המדובר הוא "Ctrl+k".
- לכל גופן יש קידומת בת שתי אותיות.
\(\:\)קבוצות ופונקציות לפי קורסיםLatexCommand ruleoffset "0.5ex"width "100col%"height "1pt"\(\:\)
\(\:\)המספרים המרוכבים ופונקציות מרוכבות\(\:\)
\(\newcommand{\MKcis}{\text{cis}}\)\(\cos+i\cdot\sin\). המספרים המרוכבים.
\(\newcommand{\MKre}{\text{Re}}\)החלק הממשי של מספר מרוכב. המספרים המרוכבים.
\(\newcommand{\MKim}{\text{Im}}\)החלק המדומה של מספר מרוכב. המספרים המרוכבים.מופיע גם כתמונה של פונקציה.
\(\newcommand{\MKind}{\text{Ind}}\)אינדקס ליפוף. מרוכבות.
\(\newcommand{\MKres}{\text{Res}}\)שארית (residue). מרוכבות.
\(\:\)אינפי', יריעות ופונקציונלית\(\:\)
\(\newcommand{\MKarsinh}{\text{arsinh}}\)סינוס היפרבולי הפוך, אינפי'.
\(\newcommand{\MKarcosh}{\text{arcosh}}\)קוסינוס היפרבולי הפוך, אינפי'.
\(\newcommand{\MKartanh}{\text{artanh}}\)טנגנס היפרבולי הפוך, אינפי'.
\(\newcommand{\MKar}{\text{ar}}\)יחס אורך-רוחב (aspect ratio). אינפי'.
\(\newcommand{\MKclos}{\text{Cl}}\)סגור (closure). אינפי'.
\(\newcommand{\MKdiam}{\text{diam}}\)קוטר (diameter). אינפי'.
\(\newcommand{\MKdiv}{\text{div}}\)דיברגנץ (divergence). יריעות.
\(\newcommand{\MKext}{\text{Ext}}\)חוץ (exterior). אינפי'.
\(\newcommand{\MKint}{\text{Int}}\)פנים (interior). אינפי'.
\(\newcommand{\MKop}{\text{op}}\)נורמה אופרטורית. אינפי'.
\(\newcommand{\MKvol}{\text{Vol}}\)נפח של קבוצה (volume). יריעות.
\(\newcommand{\MKsupp}{\text{Supp}}\)התומך של פונקציה (support). פונקציונלית.
\(\:\)אלגברה ליניארית ומבנים אלגבריים\(\:\)
\(\newcommand{\MKadj}{\text{adj}}\)המטריצה המצורפת (adjoint). ליניארית.
\(\newcommand{\MKaut}{\text{Aut}}\)חבורת האוטומורפיזמים. מבנים.
\(\newcommand{\MKchar}{\text{char}}\)המציין של שדה. מבנים.
\(\newcommand{\MKcor}{\text{Core}}\)הליבה של חבורה (core). מבנים.
\(\newcommand{\MKend}{\text{End}}\)קבוצת האנדומורפיזמים. ליניאריתומבנים.
\(\newcommand{\MKfix}{\text{Fix}}\)קבוצת נקודות השבת של פונקציה או איבר בחבורה. מבנים.
\(\newcommand{\MKgal}{\text{Gal}}\)חבורת גלואה של הרחבת שדות. מבנים.
\(\newcommand{\MKgl}{\text{GL}}\)חבורת המטריצות ההפיכות. מבנים.
\(\newcommand{\MKhom}{\text{Hom}}\)קבוצת ההומומורפיזמים. ליניאריתומבנים.
\(\newcommand{\MKinn}{\text{Inn}}\)חבורת האוטומורפיזמים הפנימיים (inner). מבנים.
\(\newcommand{\MKnull}{\text{null}}\)דרגת האפסיות של העתקה. ליניארית.
\(\newcommand{\MKorth}{\text{O}}\)חבורת המטריצות האורתוגונליות.
\(\newcommand{\MKout}{\text{Out}}\)חבורת האוטומורפיזמים החיצוניים (outer). מבנים.
\(\newcommand{\MKrank}{\text{rk}}\)דרגה של מטריצה/העתקה. ליניארית.
\(\newcommand{\MKsep}{\text{sep}}\)משמש לסימון הסגור הספרבילי של שדה. מבנים.
\(\newcommand{\MKsl}{\text{SL}}\)חבורת המטריצות בעלות דטרמיננטה\(1\). ליניארית ומבנים.
\(\newcommand{\MKso}{\text{SO}}\)חבורת המטריצות האורתוגונליות בעלות דטרמיננטה \(1\). ליניארית.
\(\newcommand{\MKsu}{\text{SU}}\)חבורת המטריצות האוניטריות בעלות דטרמיננטה \(1\). ליניארית.
\(\newcommand{\MKspan}{\text{span}}\)פרוש. ליניארית.
\(\newcommand{\MKtrace}{\text{tr}}\)עקבה (trace). ליניארית.
\(\:\)תורת הקבוצות\(\:\)
\(\newcommand{\MKcupdot}{\mathbin{\cupdot}}\)איחוד זרתודה למיכאל קלי שכתב את הפקודה.
\(\newcommand{\MKbigcupdot}{\mathbin{\bigcupdot}}\)איחוד זר גדולתודה למיכאל קלי שכתב את הפקודה.
\(\newcommand{\MKdom}{\text{dom}}\)תחום ההגדרה של פונקציה (domain). קבוצות.
\(\newcommand{\MKrng}{\text{rng}}\)הטווח של פונקציה (range). קבוצות.
\(\renewcommand{\MKim}{\text{Im}}\)תמונה של פונקציה.מופיע גם כחלק מדומה של מספר מרוכב.
\(\newcommand{\MKsequ}{\text{Seq}}\)קבוצת הסדרות הסופיות של איברים מתוך קבוצה נתונה.
\(\:\)תורת ההסתברות\(\:\)
\(\newcommand{\MKalmsur}{\overset{\text{a.s.}}{=}}\)שוויון בין משתנים מקריים כמעט תמיד (almost surely).
\(\newcommand{\MKsmallalmsur}{\overset{\text{a.s.}}{\leq}}\)שוויון בין משתנים מקריים כמעט תמיד (almost surely).
\(\newcommand{\MKgreatalmsur}{\overset{\text{a.s.}}{\geq}}\)שוויון בין משתנים מקריים כמעט תמיד (almost surely).
\(\newcommand{\MKvar}{\text{Var}}\)שונות (variance).
\(\newcommand{\MKcovar}{\text{Cov}}\)שונות (co-variance).
\(\newcommand{\MKdist}{\overset{\text{d}}{=}}\)שוויון התפלגויות (distributions) בין משתנים מקריים.
\(\newcommand{\MKber}{\text{Ber}}\)התפלגות ברנולי.
\(\newcommand{\MKunif}{\text{Unif}}\)התפלגות אחידה.
\(\newcommand{\MKgeo}{\text{Geo}}\)התפלגות גאומטרית.
\(\newcommand{\MKbin}{\text{Bin}}\)התפלגות בינומית.
\(\newcommand{\MKpoi}{\text{Poi}}\)התפלגות פואסון.
\(\newcommand{\MKhypergeo}{\text{HG}}\)התפלגות היפר-גאומטרית.
\(\:\)שונותLatexCommand ruleoffset "0.5ex"width "100col%"height "1pt"\(\:\)
\(\newcommand{\MKnotequiv}{\not\equiv}\)
\(\newcommand{\MKtickmark}{\textcolor{green}{\checkmark}}\)
\(\newcommand{\MKxmark}{{\color{red}\boldsymbol{\times}}}\)
\(\:\)מדעי המחשב\(\:\)
\(\newcommand{\MKdin}{d_{\text{in}}}\)דרגת הכניסה של קודקוד. דיסקרטית ודאסט.
\(\newcommand{\MKdout}{d_{\text{out}}}\)דרגת היציאה של קודקוד. דיסקרטית ודאסט.
\(\newcommand{\MKfalse}{\text{False}}\)ערך שקר של פסוק. דיסקרטית ואינטרו.
\(\renewcommand{\MKnull}{\text{null}}\)ערךnull. דאסט.
\(\newcommand{\MKtrue}{\text{True}}\)ערך אמת של פסוק. דיסקרטית ואינטרו.
\(\:\)פיזיקה\(\:\)
\(\newcommand{\MKtot}{\text{tot}}\)קיצור שלtotal, מכניקה.
\(\renewcommand{\MKext}{\text{ext}}\)קיצור שלexternal, מכניקה.
\(\newcommand{\MKconst}{\text{Const}}\)קיצור שלconstant, מכניקה.
\(\newcommand{\MKeff}{\text{eff}}\)קיצור שלeffective, מכניקה.
\(\:\)מספרים שלמים\(\:\)
\(\newcommand{\MKeven}{\text{Even}}\)קבוצת הזוגיים
\(\newcommand{\MKodd}{\text{Odd}}\)קבוצת האי-זוגיים
\(\newcommand{\MKprime}{\text{Prime}}\)קבוצת הראשוניים. תורת המספרים.
\(\:\)פונקציות שונות\(\:\)
\(\newcommand{\MKid}{\text{Id}}\)פונקציית הזהות.
\(\newcommand{\MKlcm}{\text{lcm}}\)כפולה משותפת מינימלית
\(\newcommand{\MKord}{\text{Ord}}\)סדר (order). תורת המספרים.
\(\newcommand{\MKsign}{\text{sgn}}\)פונקציית הסימן
\(\:\)גופניםLatexCommand ruleoffset "0.5ex"width "100col%"height "1pt"\(\:\)
\(\:\)גופןmathbb: הטבעיים, השלמים. הרציונליים. הממשיים. המרוכבים ועוד\(\:\)
\(\newcommand{\MKbba}{\mathbb{A}}\)
\(\newcommand{\MKbbb}{\mathbb{B}}\)
\(\newcommand{\MKcomplex}{\mathbb{C}}\)המספרים המרוכבים
\(\newcommand{\MKbbd}{\mathbb{D}}\)
\(\newcommand{\MKbbe}{\mathbb{E}}\)
\(\newcommand{\MKfield}{\mathbb{F}}\)שדה
\(\newcommand{\MKbbg}{\mathbb{G}}\)
\(\newcommand{\MKbbh}{\mathbb{H}}\)
\(\newcommand{\MKbbi}{\mathbb{I}}\)
\(\newcommand{\MKbbj}{\mathbb{J}}\)
\(\newcommand{\MKbbk}{\mathbb{K}}\)
\(\newcommand{\MKbbl}{\mathbb{L}}\)
\(\newcommand{\MKbbm}{\mathbb{M}}\)
\(\newcommand{\MKnatural}{\mathbb{N}}\)המספרים הטבעיים
\(\newcommand{\MKbbo}{\mathbb{O}}\)
\(\newcommand{\MKbbp}{\mathbb{P}}\)
\(\newcommand{\MKrational}{\mathbb{Q}}\)המספרים הרציונליים
\(\newcommand{\MKreal}{\mathbb{R}}\)המספרים הממשיים
\(\newcommand{\MKbbs}{\mathbb{S}}\)
\(\newcommand{\MKbbt}{\mathbb{T}}\)
\(\newcommand{\MKbbu}{\mathbb{U}}\)
\(\newcommand{\MKbbv}{\mathbb{V}}\)
\(\newcommand{\MKbbw}{\mathbb{W}}\)
\(\newcommand{\MKbbx}{\mathbb{X}}\)
\(\newcommand{\MKbby}{\mathbb{Y}}\)
\(\newcommand{\MKinteger}{\mathbb{Z}}\)המספרים השלמים
\(\newcommand{\MKindicator}{\mathds{1}}\)פונקציה מציינת - אינדיקטור
\(\:\)גופןmathcal: בסיסים, קבוצת חזקה, העתקות גלואה, המילטוניאן ועוד\(\:\)
\(\newcommand{\MKcla}{\mathcal{A}}\)
\(\newcommand{\MKclb}{\mathcal{B}}\)
\(\newcommand{\MKclc}{\mathcal{C}}\)
\(\newcommand{\MKcld}{\mathcal{D}}\)
\(\newcommand{\MKcle}{\mathcal{E}}\)
\(\newcommand{\MKclf}{\mathcal{F}}\)
\(\newcommand{\MKclg}{\mathcal{G}}\)
\(\newcommand{\MKclh}{\mathcal{H}}\)
\(\newcommand{\MKcli}{\mathcal{I}}\)
\(\newcommand{\MKclj}{J}\)
\(\newcommand{\MKclk}{\mathcal{K}}\)
\(\newcommand{\MKcll}{\mathcal{L}}\)
\(\newcommand{\MKclm}{\mathcal{M}}\)
\(\newcommand{\MKcln}{\mathcal{N}}\)
\(\newcommand{\MKclo}{\mathcal{O}}\)
\(\newcommand{\MKclp}{\mathcal{P}}\)
\(\newcommand{\MKclq}{\mathcal{Q}}\)
\(\newcommand{\MKclr}{\mathcal{R}}\)
\(\newcommand{\MKcls}{\mathcal{S}}\)
\(\newcommand{\MKclt}{\mathcal{T}}\)
\(\newcommand{\MKclu}{\mathcal{U}}\)
\(\newcommand{\MKclv}{\mathcal{V}}\)
\(\newcommand{\MKclw}{\mathcal{W}}\)
\(\newcommand{\MKclx}{\mathcal{X}}\)
\(\newcommand{\MKcly}{\mathcal{Y}}\)
\(\newcommand{\MKclz}{\mathcal{Z}}\)
\(\:\)גופןmathscr: ?\(\:\)
\(\newcommand{\MKsrb}{\mathscr{B}}\)
\(\newcommand{\MKsrf}{\mathscr{F}}\)
\(\:\)גופןmathfrak: אותיות גותיות לעוצמות\(\:\)
\(\newcommand{\MKfka}{\mathfrak{a}}\)
\(\newcommand{\MKfkb}{\mathfrak{b}}\)
\(\newcommand{\MKfkc}{\mathfrak{c}}\)
\(\:\)כתיבת סדרות במהירותLatexCommand ruleoffset "0.5ex"width "100col%"height "1pt"\(\:\)
\(\newcommand{\MKseq}[3]{#1_{1}#2#1_{2}#2\ldots#2#1_{#3}}\)תודה למיכאל קלי שכתב את הפקודה.
\(\newcommand{\MKseqz}[3]{#1_{0}#2#1_{1}#2\ldots#2#1_{#3}}\)תודה למיכאל קלי שכתב את הפקודה.
\(\newcommand{\MKdseq}[5]{#1_{1}#2#3_{1}#4#1_{2}#2#3_{2}#4\ldots#1_{#5}#2#3_{#5}}\)תודה למיכאל קלי שכתב את הפקודה.
\(\newcommand{\MKdseqz}[5]{#1_{0}#2#3_{0}#4#1_{1}#2#3_{1}#4\ldots#1_{#5}#2#3_{#5}}\)תודה למיכאל קלי שכתב את הפקודה.
1 שדה סדור
1.1 הגדרות
הגדרה 1.1. שדה סדור
שדה סדור הוא שדה \(\MKfield\) שעליו מוגדר יחס בינארי (נקרא לו "קטן מ-" ונסמן אותו ב-"\(<\)") המקיים את\(4\) התכונות הבאות (נקראות יחד עם אקסיומות השדה "אקסיומות השדה הסדור"):
שדה סדור הוא שדה \(\MKfield\) שעליו מוגדר יחס בינארי (נקרא לו "קטן מ-" ונסמן אותו ב-"\(<\)") המקיים את\(4\) התכונות הבאות (נקראות יחד עם אקסיומות השדה "אקסיומות השדה הסדור"):
- טריכוטומיה: לכל \(a,b\in\MKfield\) מתקיימת בדיוק אחת משלוש האפשרויות הבאות: \(a<b\), \(b<a\) או \(a=b\).
- טרנזיטיביות: לכל \(a,b,c\in\MKfield\) אם \(a<b\) וגם \(b<c\) אז \(a<c\).
- הלימה לחיבור: לכל \(a,b,c\in\MKfield\) אם \(a<b\) אז \(a+c<b+c\) (מחוק החילוף של חיבור נסיק שגם \(c+a<c+b\)).
- הלימה לכפל בחיובי1המושג "חיובי" יוגדר בהמשך.: לכל \(a,b,c\in\MKfield\) אם \(a<b\) וגם \(0<c\) אז \(a\cdot c<b\cdot c\) (מחוק החילוף של כפל נסיק שגם \(c\cdot a<c\cdot b\)).
- \(\clubsuit\)
- שתי התכונות הראשונות שקולות לכך שמדובר ביחס סדר חזק ומלא.
יהי \(\MKfield\) שדה סדור ויהיו \(a,b\in\MKfield\).
הגדרה 1.2. "גדול מ-", "קטן/גדול ו/או שווה ל-"
- נאמר ש-\(a\) גדול מ-\(b\) אם \(b<a\), במקרה כזה נסמן \(a>b\).
- נאמר ש-\(a\) קטן ו/או שווה ל-\(b\) אם \(a=b\) ו/או \(a<b\), במקרה כזה נסמן \(a\leq b\).
- נאמר ש-\(a\) גדול ו/או שווה ל-\(b\) אם \(a=b\) ו/או נסמן \(a\geq b\).
הגדרה 1.3. החיוביים והשליליים
- נאמר ש-\(a\) חיובי אם \(0<a\).
- נאמר ש-\(a\) שלילי אם \(0>a\).
- נאמר ש-\(a\) אי-שלילי אם \(0\leq a\).
- נאמר ש-\(a\) אי-חיובי אם \(0\geq a\).
\(\:\)
יהי \(\MKfield\) שדה סדור.
טענה 1.4. קבוצת המספרים החיוביים סגורה לחיבור ולכפל, כלומר לכל \(0<a,b\in\MKfield\) מתקיים \(0<a+b\) וגם \(0<a\cdot b\).
הוכחה. \[\begin{align*}
0<b & \Rightarrow a=a+0<a+b\\
0<a & \Rightarrow0<a+b
\end{align*}\]מהלימת היחס "קטן מ-" לכפל בחיובי נובע ש-\(a\cdot0<a\cdot b\) (שהרי \(0<a\) ולכן ניתן להחיל עליו את ההלימה ביחס ל-\(0<b\)) ומכיוון ש-\(0=a\cdot0\) מתקיים \(0<a\cdot b\) כנדרש.
טענה 1.5. יהי \(a\in\MKfield\), מתקיים \(0<a\) אם"ם \(-a<0\), כלומר מספר הוא חיובי אם"ם הנגדי שלו שלילי.
הוכחה. \[\begin{align*}
0<a & \Rightarrow-a=0+\left(-a\right)<a+\left(-a\right)=0\\
-a<0 & \Rightarrow0=a+\left(-a\right)<0+a=a
\end{align*}\]
מסקנה 1.6. קבוצת המספרים החיוביים אינה ריקה.
טענה 1.7. האיבר האדיש לכפל הוא מספר חיובי, כלומר \(0<1\).
הוכחה. מהמסקנה הקודמת נובע שקיים \(a\in\MKfield\) חיובי, יהי \(a\) כנ"ל ונניח בשלילה ש-\(1<0\)2לא ייתכן ש-\(1=0\) ולכן מטריכוטומיה זו האפשרות היחידה שאינה \(0<1\)., א"כ מהלימת השוויון לכפל בחיובי נובע ש-\(a=a\cdot1<a\cdot0=0\) בסתירה להגדרת \(a\); מכאן שהנחת השלילה אינה נכונה ו-\(0<1\).
טענה 1.8. יהיו \(a,b\in\MKfield\) כך ש-\(a<b\), מתקיים \(-b<-a\).
הוכחה. \[\begin{align*}
a<b & \Rightarrow0=a+\left(-a\right)<a+b\\
& \Rightarrow0+\left(-b\right)<\left(a+b\right)+\left(-b\right)\\
& \Rightarrow-b<a+\left(b+\left(-b\right)\right)\\
& \Rightarrow-b<a+0=a
\end{align*}\]
טענה 1.9. יהיו \(a,b,c\in\MKfield\) כך ש-\(a<b\) ו-\(c<0\), מתקיים \(b\cdot c<a\cdot c\)
הוכחה. נשים לב לכך ש-\(0<-c\) (טענה1.2), שמהלימה של א"ש חזק לכפל בחיובי נובע שמתקיים \(-\left(a\cdot c\right)=a\cdot\left(-c\right)<b\cdot\left(-c\right)=-\left(b\cdot c\right)\) ולכן מטענה 1.5נקבל את המבוקש.
טענה 1.10. יהי \(0\neq a\in\MKfield\), מתקיים \(0<a\) אם"ם \(0<a^{-1}\).
הוכחה. \(\:\)
- \(\Leftarrow\)נניח ש-\(0<a\) ונניח בשלילה ש-\(a^{-1}\leq0\).לא ייתכן ש-\(a^{-1}=0\) משום שאז נקבל \(1=a\cdot a^{-1}=a\cdot0=0\), מכאן ש-\(a^{-1}<0\).מהלימת היחס "קטן מ-" לכפל בחיובי נובע ש-\(1=a\cdot a^{-1}<a\cdot0=0\) (\(0<a\) ולכן ניתן להחיל עליו את ההלימה ביחס ל-\(a^{-1}<0\)) בסתירה לכך שהוכחנו כי \(0<1\) (טריכוטומיה).
- \(\Rightarrow\)נניח ש-\(0<a^{-1}\), מהחלק הקודם של ההוכחה נובע ש-\(0<\left(a^{-1}\right)^{-1}=a\).
טענה 1.11. יהיו \(0>a,b\in\MKfield\), מתקיים \(0<a\cdot b\).
הוכחה. מטענה 1.5נובע ש-\(0<-a,-b\), לכן מטענה 1.1נובע ש-\(0<\left(-a\right)\left(-b\right)=a\cdot b\).
מסקנה 1.12. יהי \(0\neq a\in\MKfield\), מתקיים \(a\cdot a>0\).
טענה 1.13. יהיו \(a,b,c,d\in\MKfield\), מתקיימים כל הפסוקים הבאים:
- אם \(a<b\) ו-\(c<d\) אז \(a+c<b+d\)
- טרנזיטיביות א"ש חלש: אם \(a\leq b\) ו-\(b\leq c\) אז \(a\leq c\)
- הלימת א"ש חלש לחיבור: אם \(a\leq b\) אז \(a+c\leq b+c\)
- אם \(a\leq b\) ו-\(c\leq d\) אז \(a+c\leq b+d\)
- \(a\cdot b>0\) אם"ם \(a,b<0\) או ש-\(a,b>0\)
- אם \(0<a<b\) אז \(0<b^{-1}<a^{-1}\)
- אם \(0<a<b\) ו-\(0<c<d\) אז \(0<a\cdot c<b\cdot d\)
- לא קיים שדה סדור בעל איבר מקסימלי ו/או מינימלי, כלומר לא קיים \(M\in\MKfield\) כך שלכל \(x\in\MKfield\) מתקיים \(x\leq M\) ולא קיים \(m\in\MKfield\) כך שלכל \(x\in\MKfield\) מתקיים \(m\leq x\).
הוכחה. \(\:\)
- \[\begin{align*} a<b & \Rightarrow a+c<b+c\\ c<d & \Rightarrow b+c<b+d\\ & \Rightarrow a+c<b+d \end{align*}\]
- נובע מטרנזיטיביות של א"ש חזק ושל שוויון.
- נובע מהלימה לחיבור של א"ש חזק ושל שוויון.
- ההוכחה זהה לזו של סעיף1ומשתמשת בסעיף3.
- את הגרירה משמאל לימין כבר ראינו, הגרירה ההפוכה נובעת מהעובדה שלו היו הסימנים של \(a\) ו-\(b\) שונים אז מהגרירה הראשונה נובע שמתקיים \(-\left(a\cdot b\right)=\left(-a\right)\cdot b>0\) ואז מטענה 1.2 נקבל ש-\(a\cdot b<0\) בסתירה לנתון.
- נניח ש-\(0<a<b\), א"כ \(0<a\) וגם \(0<b\) ולכן \(0<a^{-1}\) וגם \(0<b^{-1}\).\[\begin{align*} & \Rightarrow0=\left(a^{-1}\cdot b^{-1}\right)\cdot0<\left(a^{-1}\cdot b^{-1}\right)\cdot a<\left(a^{-1}\cdot b^{-1}\right)\cdot b\\ & \Rightarrow0<\left(b^{-1}\cdot a^{-1}\right)\cdot a<\left(a^{-1}\cdot b^{-1}\right)\cdot b\\ & \Rightarrow0<b^{-1}\cdot\left(a^{-1}\cdot a\right)<a^{-1}\cdot\left(b^{-1}\cdot b\right)\\ & \Rightarrow0<b^{-1}\cdot1<a^{-1}\cdot1\\ & \Rightarrow0<b^{-1}<a^{-1} \end{align*}\]
- ההוכחה זהה לזו של סעיף1ומשתמשת בהלימת הא"ש החזק לכפל החיובי.
- נשים לב שלכל \(m,M\in\MKfield\) מתקיים \(M<M+1\) ו-\(m-1<m\).
\(\:\)
2 הערך המוחלט
2.1 הגדרות
יהי \(\MKfield\) שדה סדור ויהי \(a\in\MKfield\).
הגדרה 2.1. הערך המוחלט
נסמן את הערך המוחלט של \(a\) ב-\(\left|a\right|\) ונגדירו כך:\[ \left|a\right|:=\begin{cases} a & a\geq0\\ -a & a<0 \end{cases} \]
נסמן את הערך המוחלט של \(a\) ב-\(\left|a\right|\) ונגדירו כך:\[ \left|a\right|:=\begin{cases} a & a\geq0\\ -a & a<0 \end{cases} \]
- \(\clubsuit\)
- כמובן שהערך המוחלט מוגדר אך ורק בשדות סדורים.
- \(\clubsuit\)
- מה הקשר למשולש?
נשאל שאלה אחרת, גאומטרית: בהינתן שלושה (לדוגמה: מהקטעים באורך \(5,1,1\) אי אפשר לבנות משולש).
התשובה היא שניתן לבנות מהקטעים משולש אם"ם סכום אורכיהם של כל שניים מהקטעים גדול מאורך השלישי... - \(\clubsuit\)
- א"ש המשולש הוא אחת משלוש התכונות שנדרשות מכל פונקציית מרחק3שתי האחרות הן סימטריה וחיוביות בהחלט..
יהי \(\MKfield\) שדה סדור.
למה 2.2. לכל \(a\in\MKfield\) מתקיים \(\left|-a\right|=\left|a\right|\).
למה 2.3. לכל \(a\in\MKfield\) מתקיים \(\left|a\right|\geq0\), יתרה מזאת, \(\left|a\right|=0\) אם"ם \(a=0\).
למה 2.4. לכל \(p\in\MKfield\) ו-\(0\leq q\in\MKfield\) מתקיים \(\left|p\right|\leq q\) אם"ם \(-q\leq p\leq q\).
הוכחה. \(\:\)
- \(\Leftarrow\)נניח ש-\(\left|p\right|\leq q\).אם \(0\leq p\) אז \(p=\left|p\right|\leq q\), ואם \(p<0\) אז \(0<-p\) וממילא \(p<0<-p=\left|p\right|\leq q\); א"כ קיבלנו \(p\leq q\) בכל מקרה.אם \(0\leq p\) אז \(p=\left|p\right|\leq q\) וממילא \(-q\leq-p\leq0\leq p\), ואם \(p<0\) אז \(-p=\left|p\right|\leq q\) וממילא \(-q\leq p\); א"כ קיבלנו \(-q\leq p\) בכל מקרה וביחד \(-q\leq p\leq q\).
- \(\Rightarrow\)נניח ש-\(-q\leq p\leq q\).אם \(0\leq p\) אז \(\left|p\right|=p\leq q\), נשים לב ש-\(-p\leq q\) (בגלל ש-\(-q\leq p\)) ולכן אם \(p<0\) אז \(\left|p\right|=-p\leq q\); א"כ קיבלנו \(\left|p\right|\leq q\) בכל מקרה.
מסקנה 2.5. לכל \(a\in\MKfield\) מתקיים \(-\left|a\right|\leq a\leq\left|a\right|\).
משפט 2.6. אי-שוויון המשולש
לכל \(a,b\in\MKfield\) מתקיים \(\left|a+b\right|\leq\left|a\right|+\left|b\right|\).
ובגרסה אחרת (נציב \(-b\) במקום \(b\)): \(\left|a-b\right|\leq\left|a\right|+\left|b\right|\).
לכל \(a,b\in\MKfield\) מתקיים \(\left|a+b\right|\leq\left|a\right|+\left|b\right|\).
ובגרסה אחרת (נציב \(-b\) במקום \(b\)): \(\left|a-b\right|\leq\left|a\right|+\left|b\right|\).
הוכחה. מהמסקנה הקודמת נובע ש-\(-\left|a\right|\leq a\leq\left|a\right|\) ו-\(-\left|b\right|\leq b\leq\left|b\right|\),\[\begin{align*}
& \Rightarrow-\left|a\right|-\left|b\right|\leq a+b\leq\left|a\right|+\left|b\right|\\
& \Rightarrow-\left(\left|a\right|+\left|b\right|\right)\leq a+b\leq\left|a\right|+\left|b\right|
\end{align*}\]ולכן מהלמה האחרונה נובע ש-\(\left|a+b\right|\leq\left|a\right|+\left|b\right|\).
משפט 2.7. אי-שוויון המשולש ההפוך4זהו שם אומלל מעט משום שאין זה המשפט ההפוך למשפט א"ש המשולש במובן המתמטי השכיח: המשפט ההפוך למשפט פיתגורס אומר שכל משולש המקיים את המשוואה \(a^{2}+b^{2}=c^{2}\) (כאשר \(a,b,c\) הם אורכי הצלעות שלו) הוא משולש ישר זווית, כלומר המשפט ההפוך הוא זה האומר שהגרירה ההפוכה נכונה (לא תמיד זה קורה).
לכל \(a,b\in\MKfield\) מתקיים \(\left|\left|a\right|-\left|b\right|\right|\leq\left|a+b\right|\).
לכל \(a,b\in\MKfield\) מתקיים \(\left|\left|a\right|-\left|b\right|\right|\leq\left|a+b\right|\).
הוכחה. נגדיר \(c:=b+a\) וע"פ הגרסה השנייה של א"ש המשולש נקבל:\[
\left|a\right|=\left|b-\left(b+a\right)\right|=\left|a-c\right|\leq\left|a\right|+\left|c\right|=\left|a\right|+\left|b+a\right|
\]\[
\Rightarrow\left|a\right|-\left|b\right|\leq\left|b+a\right|=\left|a+b\right|
\]מכאן שגם \(\left|b\right|-\left|a\right|\leq\left|a+b\right|\), כלומר \(-\left|a+b\right|\leq\left|a\right|-\left|b\right|\) ולכן מהלמה האחרונה נובע ש-\(\left|\left|a\right|-\left|b\right|\right|\leq\left|a+b\right|\).
טענה 2.8. לכל \(a,b,c,x,y\in\MKfield\) מתקיימים כל הפסוקים הבאים:
- \(a+b\geq a-\left|b\right|\)
- \(\left|a+b+c\right|\leq\left|a\right|+\left|b\right|+\left|c\right|\)
- \(\left|\left|a\right|-\left|b\right|\right|\leq\left|a-b\right|\)
- \(\max\left\{ x,y\right\} =\frac{1}{2}\left(x+y+\left|x-y\right|\right)\)
- \(\min\left\{ x,y\right\} =\frac{1}{2}\left(x+y-\left|x-y\right|\right)\)
\(\:\)
3 קבוצות מיוחדות בשדה סדור
3.1 הגדרות
יהי \(\MKfield\) שדה סדור.
- \(\clubsuit\)
- את הקבוצות המיוחדות הללו ניתן להגדיר גם בשדה שאינו סדור אולם בשדות מהסוג \(\MKfield_{P}\) (כאשר \(P\) ראשוני) כל אחת מהן כוללת את כל איברי השדה, לעומתם ב-\(\MKcomplex\) (שדה המרוכבים) ניתן להגדירן מבלי לכלול את כל השדה.
- \(\clubsuit\)
- לעיתים נשתמש גם בסימון: \(\MKnatural_{0}:=\MKnatural\cup\left\{ 0\right\} \).
- \(\clubsuit\)
- כלומר לכל מספר רציונלי יש יותר מהצגה אחת כמנה של שלם וטבעי (למעשה יש אין-סוף).
הגדרה 3.1. קבוצה אינדוקטיבית
נאמר שקבוצה \(I\subseteq\MKfield\) היא קבוצה אינדוקטיבית אם \(1\in I\) ולכל \(x\in I\) גם \(x+1\in I\).
נאמר שקבוצה \(I\subseteq\MKfield\) היא קבוצה אינדוקטיבית אם \(1\in I\) ולכל \(x\in I\) גם \(x+1\in I\).
הגדרה 3.2. קבוצת המספרים הטבעיים
נסמן את קבוצת המספרים הטבעיים ב-\(\MKnatural\) ונגדיר אותה כחיתוך כל הקבוצות האינדוקטיביות המוכלות ב-\(\MKfield\).
במילים אחרות: יהא \(A\) אוסף כל הקבוצות האינדוקטיביות המוכלות ב-\(\MKfield\), נגדיר:\[ \MKnatural:=\bigcap_{a\in A}a \]
נסמן את קבוצת המספרים הטבעיים ב-\(\MKnatural\) ונגדיר אותה כחיתוך כל הקבוצות האינדוקטיביות המוכלות ב-\(\MKfield\).
במילים אחרות: יהא \(A\) אוסף כל הקבוצות האינדוקטיביות המוכלות ב-\(\MKfield\), נגדיר:\[ \MKnatural:=\bigcap_{a\in A}a \]
הגדרה 3.3. קבוצת המספרים השלמים
נסמן את קבוצת המספרים השלמים ב-\(\MKinteger\) ונגדיר אותה כך:\[ \MKinteger:=\MKnatural\cup\left\{ 0\right\} \cup\left\{ -n\in\MKfield:n\in\MKnatural\right\} \]
נסמן את קבוצת המספרים השלמים ב-\(\MKinteger\) ונגדיר אותה כך:\[ \MKinteger:=\MKnatural\cup\left\{ 0\right\} \cup\left\{ -n\in\MKfield:n\in\MKnatural\right\} \]
מסקנה 3.4. מספר שלם הוא טבעי אם"ם הוא חיובי.
הגדרה 3.5. יחס החלוקה
יהיו \(m,n\in\MKinteger\), נאמר ש-\(n\) מחלק את \(m\) (או ש-\(m\) הוא כפולה של \(n\)) ונסמן \(n\mid m\) אם קיים \(k\in\MKinteger\) כך ש-\(m=n\cdot k\).
יהיו \(m,n\in\MKinteger\), נאמר ש-\(n\) מחלק את \(m\) (או ש-\(m\) הוא כפולה של \(n\)) ונסמן \(n\mid m\) אם קיים \(k\in\MKinteger\) כך ש-\(m=n\cdot k\).
הגדרה 3.6. קבוצת הזוגיים וקבוצת האי-זוגיים
נסמן:\[\begin{align*} 2 & :=1+1\\ \MKeven & :=\left\{ n\in\MKinteger:2\mid n\right\} \\ \MKodd & :=\MKinteger\setminus\MKeven \end{align*}\]\(\MKeven\) תיקרא קבוצת הזוגיים ו-\(\MKodd\) תיקרא קבוצת האי-זוגיים.
נסמן:\[\begin{align*} 2 & :=1+1\\ \MKeven & :=\left\{ n\in\MKinteger:2\mid n\right\} \\ \MKodd & :=\MKinteger\setminus\MKeven \end{align*}\]\(\MKeven\) תיקרא קבוצת הזוגיים ו-\(\MKodd\) תיקרא קבוצת האי-זוגיים.
מסקנה 3.7. מתקיים \(\MKeven=\left\{ n\in\MKinteger\mid\exists k\in\MKinteger:n=2k\right\} =\left\{ 2k\mid k\in\MKinteger\right\} \).
מסקנה 3.8. \(\MKeven\cap\MKodd=\emptyset\) וגם \(\MKeven\cup\MKodd=\MKinteger\).
הגדרה 3.9. קבוצת המספרים הרציונליים
נסמן את קבוצת המספרים הרציונליים ב-\(\MKrational\) ונגדיר אותה כך:\[ \MKrational:=\left\{ q\in\MKfield\ \mid\ \exists n\in\MKnatural,m\in\MKinteger:q=\frac{m}{n}\right\} \]
נסמן את קבוצת המספרים הרציונליים ב-\(\MKrational\) ונגדיר אותה כך:\[ \MKrational:=\left\{ q\in\MKfield\ \mid\ \exists n\in\MKnatural,m\in\MKinteger:q=\frac{m}{n}\right\} \]
למה. יהיו \(a,c\in\MKfield\) ו-\(0\neq b,d\in\MKfield\) אז \(\frac{a}{b}=\frac{c}{d}\) אם"ם \(a\cdot d=b\cdot c\).
למה 3.10. לכל \(q\in\MKrational\) קיימים \(n\in\MKnatural\) ו-\(m\in\MKinteger\) יחידים כך שמתקיים \(q=\frac{m}{n}\) ובנוסף לא קיים \(\pm1\neq k\in\MKinteger\) כך ש-\(k\mid n\) ו-\(k\mid m\) (כלומר \(n\) ו-\(m\) זרים זה לזה).
הגדרה 3.11. במונחי הלמה הקודמת נגדיר את ההצגה המצומצמת של \(q\) להיות \(\frac{m}{n}\) עבור אותם \(n\in\MKnatural\) ו-\(m\in\MKinteger\) יחידים המקיימים את הלמה (וזאת לכל \(q\in\MKrational\)).
\(\:\)
יהי \(\MKfield\) שדה סדור.
3.2 המספרים הטבעיים
טענה 3.12. \(\MKfield\) מכיל קבוצות אינדוקטיביות (לדוגמה \(\left\{ x\in\MKreal:1\leq x\right\} \)).
טענה 3.13. יהא \(A\) אוסף של קבוצות אינדוקטיביות המוכלות ב-\(\MKfield\), החיתוך של כל איברי \(A\) (שהם קבוצות אינדוקטיביות) הוא קבוצה אינדוקטיבית.
מסקנה 3.14. \(\MKnatural\) היא קבוצה אינדוקטיבית.
טענה 3.15. לכל קבוצה אינדוקטיבית \(I\subseteq\MKfield\) מתקיים \(\MKnatural\subseteq I\).
מסקנה 3.16. תהא \(I\) קבוצה אינדוקטיבית, אם \(I\subseteq\MKnatural\) אז \(I=\MKnatural\).
משפט 3.17. הוכחה באינדוקציה
לכל \(n\in\MKnatural\) יהי \(P\left(n\right)\) פסוק לוגי, אם \(P\left(1\right)=\MKtrue\) וגם לכל \(n\in\MKnatural\) מתקיים \(P\left(n\right)\rightarrow P\left(n+1\right)\) אז \(P\left(n\right)=\MKtrue\) לכל \(n\in\MKnatural\).
לכל \(n\in\MKnatural\) יהי \(P\left(n\right)\) פסוק לוגי, אם \(P\left(1\right)=\MKtrue\) וגם לכל \(n\in\MKnatural\) מתקיים \(P\left(n\right)\rightarrow P\left(n+1\right)\) אז \(P\left(n\right)=\MKtrue\) לכל \(n\in\MKnatural\).
- \(\clubsuit\)
- זהו הסוג הקלאסי של הוכחה באינדוקציה אך ישנם סוגים נוספים, ראו בערך "מתמטית אינדוקציה" בוויקיפדיה.
- \(\clubsuit\)
- אתארבע הטענות הבאות קל להוכיח באינדוקציה.
- \(\clubsuit\)
- רז הוכיח ע"י הגדרת הקבוצה \(\MKnatural\setminus\left\{ n\right\} \) עבור \(n\in\MKnatural\) מסוים, הנחה בשלילה ש-\(n-1\notin\MKnatural\setminus\left\{ n\right\} \) והוכחה שקבוצה זו היא אינדוקטיבית.
הוכחה. נגדיר \(I:=\left\{ n\in\MKnatural\mid P\left(n\right)=\MKtrue\right\} \) (מהגדרה \(I\subseteq\MKnatural\)), נתון ש-\(P\left(1\right)=\MKtrue\) ולכן \(1\in I\); יהי \(n\in I\), נתון שאם \(P\left(n\right)=\text{True}\) אז גם \(P\left(n+1\right)=\MKtrue\), כלומר אם \(n\in I\) אז גם \(n+1\in I\). מכאן ש-\(I\) היא קבוצה אינדוקטיבית ומכיוון ש-\(I\subseteq\MKnatural\) נדע ש-\(I=\MKnatural\), כלומר לכל \(n\in\MKnatural\) מתקיים \(P\left(n\right)=\text{True}\).
טענה 3.18. המספר \(1\) הוא האיבר הקטן ביותר ב-\(\MKnatural\), במילים אחרות: לכל \(n\in\MKnatural\) מתקיים \(1\leq n\) (וגם כמובן ש-\(1\in\MKnatural\)).
הוכחה. \(\left[1,\infty\right)\) היא קבוצה אינדוקטיבית ולכן \(\MKnatural\subseteq\left[1,\infty\right)\), מכאן שלכל \(n\in\MKnatural\) מתקיים \(n\in\left[1,\infty\right)\) ומהגדרה \(1\leq n\).
טענה 3.19. קבוצת המספרים הטבעיים סגורה לחיבור, במילים אחרות: לכל \(n,m\in\MKnatural\) מתקיים \(n+m\in\MKnatural\).
טענה 3.20. קבוצת המספרים הטבעיים סגורה לכפל, לכל \(n,m\in\MKnatural\) מתקיים \(n\cdot m\in\MKnatural\).
טענה 3.21. לכל \(1\neq n\in\MKnatural\) מתקיים \(n-1\in\MKnatural\), לכל מספר טבעי שאינו \(1\) יש מספר טבעי קודם.
טענה 3.22. לכל \(n,m\in\MKnatural\) המקיימים \(n>m\) מתקיים \(n-m\in\MKnatural\).
טענה 3.23. יהי \(m\in\MKnatural\), לא קיים \(n\in\MKnatural\) המקיים \(m<n<m+1\).
הוכחה. נניח בשלילה שקיים \(n\) כנ"ל ומכאן ש-\(0<n-m<1\), מטענה 3.11נובע ש-\(n-m\in\MKnatural\) בסתירה לכך שאם \(n-m\in\MKnatural\) אז \(1\leq n-m\) (טענה3.7); מכאן שהנחת השלילה אינה נכונה ולא קיים \(n\) כזה.
משפט 3.24. עיקרון הסדר הטוב5סדר טוב על קבוצה הוא יחס סדר מלא המקיים שלכל תת-קבוצה לא ריקה יש מינימום (ויקיפדיה).
לכל תת-קבוצה של \(\MKnatural\) שאינה ריקה יש איבר מינימלי6לאחר שנגדיר מינימום נוכל לומר שהוא המינימום של הקבוצה., כלומר לכל \(\emptyset\neq A\subseteq\MKnatural\) קיים \(m\in A\) כך ש-\(m\leq a\) לכל \(a\in A\).
לכל תת-קבוצה של \(\MKnatural\) שאינה ריקה יש איבר מינימלי6לאחר שנגדיר מינימום נוכל לומר שהוא המינימום של הקבוצה., כלומר לכל \(\emptyset\neq A\subseteq\MKnatural\) קיים \(m\in A\) כך ש-\(m\leq a\) לכל \(a\in A\).
הוכחה. נניח בשלילה שאין ל-\(A\) איבר מינימלי ונגדיר \(I:=\left\{ n\in\MKnatural\mid\forall a\in A:n<a\right\} \).
מטענה 3.7נובע ש-\(1\leq a\) לכל \(a\in\MKnatural\) ובפרט לכל \(a\in A\) ולכן מהנחת השלילה נובע ש-\(1\notin A\) וממילא \(1<a\) לכל \(a\in A\) ומהגדרה \(1\in I\).
יהי \(m\in I\), מהנחת השלילה נובע ש-\(m+1\notin A\) משום שאחרת מטענה 3.12ינבע שלא קיים \(a\in\MKnatural\) כך ש-\(m<a<m+1\) ובפרט לא קיים \(a\in A\) כזה והרי מהעובדה ש-\(m\in I\) נובע שלא קיים \(a\in A\) כך ש-\(a\leq m\) ומכאן ש-\(m+1\) הוא איבר מינימלי של \(A\).
\(m\) הנ"ל היה שרירותי ולכן לכל \(m\in I\) מתקיים \(m+1\notin A\) וממילא \(m+1\in I\) ומכאן ש-\(I\) אינדוקטיבית ו-\(I=\MKnatural\), מהגדרה \(I\cap A=\emptyset\) ומכיוון ש-\(A\subseteq\MKnatural=I\) נקבל ש-\(A=\emptyset\) בסתירה לנתון. מכאן שהנחת השלילה אינה נכונה ויש ל-\(A\) איבר מינימלי.
מטענה 3.7נובע ש-\(1\leq a\) לכל \(a\in\MKnatural\) ובפרט לכל \(a\in A\) ולכן מהנחת השלילה נובע ש-\(1\notin A\) וממילא \(1<a\) לכל \(a\in A\) ומהגדרה \(1\in I\).
יהי \(m\in I\), מהנחת השלילה נובע ש-\(m+1\notin A\) משום שאחרת מטענה 3.12ינבע שלא קיים \(a\in\MKnatural\) כך ש-\(m<a<m+1\) ובפרט לא קיים \(a\in A\) כזה והרי מהעובדה ש-\(m\in I\) נובע שלא קיים \(a\in A\) כך ש-\(a\leq m\) ומכאן ש-\(m+1\) הוא איבר מינימלי של \(A\).
\(m\) הנ"ל היה שרירותי ולכן לכל \(m\in I\) מתקיים \(m+1\notin A\) וממילא \(m+1\in I\) ומכאן ש-\(I\) אינדוקטיבית ו-\(I=\MKnatural\), מהגדרה \(I\cap A=\emptyset\) ומכיוון ש-\(A\subseteq\MKnatural=I\) נקבל ש-\(A=\emptyset\) בסתירה לנתון. מכאן שהנחת השלילה אינה נכונה ויש ל-\(A\) איבר מינימלי.
3.3 המספרים השלמים והמספרים הרציונליים
טענה 3.25. קבוצת המספרים השלמים (\(\MKinteger\)) סגורה לחיבור, לחיסור ולכפל7ומכיוון ש-\(0,1\in\MKinteger\) נובע מזה ש-\(\MKinteger\) הוא חוג חילופי - כלומר הוא מקיים את כל אקסיומות השדה מלבד קיום הופכי לכל איבר שונה מ-\(0\) (בחוג סתם הכפל אינו מוכרח לקיים את חוק החילוף, לכן אמרנו ש-\(\MKinteger\) הוא חוג חילופי).
- \(\clubsuit\)
- שימו לב: \(\MKinteger\) אינה סגורה לחילוק, וזאת למרות שהחילוק הוגדר ע"י הכפל.
טענה 3.26. המספר \(2^{-1}\) אינו שלם.
הוכחה. הוא קטן מ-\(1\) וגדול מ-\(0\).
טענה 3.27. לכל \(n\in\MKinteger\) מתקיים:\[\begin{align*}
& n\in\MKeven\longleftrightarrow n\pm1\in\MKodd & & n\in\MKodd\longleftrightarrow n\pm1\in\MKeven\\
& n\in\MKeven\longleftrightarrow n\pm2\in\MKeven & & n\in\MKodd\longleftrightarrow n\pm2\in\MKodd
\end{align*}\]
מסקנה 3.28. מתקיים \(\MKodd=\left\{ n\in\MKinteger|\exists k\in\MKinteger:2k-1=n\right\} =\left\{ 2k-1\mid k\in\MKinteger\right\} \).
טענה 3.29. \(\MKrational\) הוא תת-שדה8\(\MKrational\) הוא גם שדה סדור. של \(\MKfield\), כלומר הוא שדה ביחס לאותן פעולות חיבור וכפל של \(\MKfield\)9כולל האיברים האדישים. והוא תת-קבוצה של \(\MKfield\).
הוכחה. יש להוכיח ש-\(0,1\in\MKrational\) (נובע מהגדרת \(\MKrational\)) וש-\(\MKrational\) סגור לחיבור ולכפל10כלומר לכל \(q,r\in\MKrational\) מתקיים \(q+r\in\MKrational\) ו-\(q\cdot r\in\MKrational\).,\(9\) האקסיומות תנבענה ישירות מהעובדה ש-\(\MKrational\subseteq\MKfield\).
\(\:\)
4 חסמים וארכימדיות
4.1 הגדרות
יהי \(\MKfield\) שדה סדור.
הגדרה 4.1. חסמים וקבוצות חסומות
- קבוצה \(A\subseteq\MKfield\) תקרא חסומה מלעיל אם קיים \(M\in\MKfield\) כך שלכל \(a\in A\) מתקיים \(a\leq M\).
- איבר \(M\in\MKfield\) ייקרא חסם מלעיל של קבוצה \(A\subseteq\MKfield\) אם לכל \(a\in A\) מתקיים \(a\leq M\).
- קבוצה \(A\subseteq\MKfield\) תיקרא חסומה מלרע אם קיים \(m\in\MKfield\) כך שלכל \(a\in A\) מתקיים \(a\geq m\).
- איבר \(m\in\MKfield\) ייקרא חסם מלרע של קבוצה \(A\subseteq\MKfield\) אם לכל \(a\in A\) מתקיים \(a\geq m\).
- קבוצה \(A\subseteq\MKfield\) תיקרא חסומה אם היא חסומה מלעיל ומלרע.
הגדרה 4.2. שדה סדור \(\MKfield\) יקרא ארכימדי אם קבוצת הטבעיים שלו אינה חסומה מלעיל, כלומר לכל \(M\in\MKfield\) קיים \(n\in\MKnatural\) כך ש-\(M<n\).
\(\:\)
יהי \(\MKfield\) שדה סדור.
טענה 4.3. קבוצה \(A\subseteq\MKfield\) היא חסומה אם"ם קיים \(M\in\MKfield\) כך ש-\(\left|a\right|<M\) לכל \(a\in A\).
טענה 4.4. קבוצת המספרים הטבעיים אינה חסומה מלעיל ע"י מספר טבעי, לכל \(n\in\MKnatural\) קיים \(m\in\MKnatural\) כך ש-\(n<m\).
מסקנה 4.5. קבוצת המספרים הטבעיים אינה חסומה מלעיל ע"י מספר רציונלי.
- \(\clubsuit\)
- מכאן ש-\(\MKrational\) הוא שדה ארכימדי.
נניח ש-\(\MKfield\) ארכימדי.
משפט 4.6. לכל \(0<\varepsilon\in\MKfield\) קיים \(n\in\MKnatural\) כך ש-\(\frac{1}{n}<\varepsilon\).
מסקנה 4.7. לכל \(0<x,y\in\MKfield\) קיים \(n\in\MKnatural\) כך ש-\(n\cdot x>y\).
5 השדה הסדור השלם (המספרים הממשיים)
5.1 הגדרות
יהי \(\MKfield\) שדה סדור.
למה. נסמן \(4:=2+2\), מתקיים:
- לכל \(m,n\in\MKeven\) קיים \(k\in\MKinteger\) כך ש-\(m\cdot n=4k\).
- אם \(m,n\in\MKodd\) אז \(m\cdot n\in\MKodd\).
טענה. לא קיים \(q\in\MKrational\) כך ש-\(q^{2}=2\)11לכל \(x\in\MKreal\) נסמן \(x^{2}:=x\cdot x\)..
- \(\clubsuit\)
- זהו המובן שבו שדה הרציונליים "מלא חורים", אם ניקח את ההמחשה שהבאנו בקובץ ההגדרות, ניתן לחלק את הקרש שאנו רוצים להפוך ליתר של המשולש לשני חלקים: החלק שאנו רוצים להפוך ליתר והאחר שאנו רוצים להיפטר ממנו, אם נשאר עם מספרים רציונליים בלבד לא נוכל להצביע על הנקודה שבין שני החלקים כדי שנוכל להעביר בה את המסור.
- \(\clubsuit\)
- נשים לב ליופי שבדבר: המתמטיקאים הצליחו לשים את האצבע על התכונה שעושה את המספרים הממשיים למה שהם, על מהותם (!).
נניח למשל שאני רוצה לבנות משולש ישר זווית שאורכי ניצביו שווים, אקח קרש אחד, אשים אותו ליד אחר (גדול יותר) ואחתוך את הקרש השני לפי הראשון (כך שיהיו שווים); כעת אניח את אחד הקרשים על הקרקע, אמדוד זווית ישרה (ניתן לעשות זאת עם סרגל ומחוגה) ואניח את הקרש השני כך שיהיה אנך לראשון וקצותיהם יגעו זה בזה. וכעת לעצם העניין: אני צריך צלע שלישית, תאמרו "מה הבעיה? קח קרש שלישי שיהיה ארוך יותר מהמרחק שבין קצות הקרשים הראשונים שאינם נוגעים זה בזה, הנח אותו על הישר שקצוות אלו מגדירים כך שאחד מקצותיו יגע באחד הקצוות הללו, חתוך את החלק הבולט של הקרש וחסל!", אבל... מי אמר שקיימת נקודה שנמצאת בדיוק בין החלק שאני רוצה לחלק המיותר???
- זוהי אקסיומת השלמות! - \(\clubsuit\)
- גם הקבוצה הריקה והשדה כולו הם מקטעים.
- \(\clubsuit\)
- זהו המובן שבו שדה הרציונליים "מלא חורים", אם ניקח את ההמחשה שהבאנו בקובץ ההגדרות, ניתן לחלק את הקרש שאנו רוצים להפוך ליתר של המשולש לשני חלקים: החלק שאנו רוצים להפוך ליתר והאחר שאנו רוצים להיפטר ממנו, אם נשאר עם מספרים רציונליים בלבד לא נוכל להצביע על הנקודה שבין שני החלקים כדי שנוכל להעביר בה את המסור.
- \(\clubsuit\)
- ניתן להכליל את ההוכחה לכל שורש של מספר טבעי שאינו ריבוע ולהראות שכל שורש של טבעי שאינו טבעי הוא אי-רציונלי (כדוגמת \(\sqrt{3}\)).
הגדרה 5.1. השדה הסדור השלם (אקסיומת השלמות)
שדה סדור \(\MKfield\) ייקרא שלם אם יקיים את הפסוק הנקרא "אקסיומת השלמות":
לכל שתי קבוצות \(A,B\subseteq\MKfield\) שאינן ריקות המקיימות \(a\leq b\) לכל \(a\in A\) ולכל \(b\in B\),
קיים \(c\in\MKfield\) כך ש-\(a\leq c\leq b\) לכל \(a\in A\) ולכל \(b\in B\).
נסמן את השדה הסדור השלם12ניתן להוכיח שקיים רק שדה סדור שלם אחד (כל השדות הסדורים השלמים דומים עד כדי איזומורפיזם) ולכן מוצדק לקרוא לו "שדה הממשיים" בה"א הידיעה ותת לו סימון. ב-\(\MKreal\) ונקרא לו גם שדה המספרים הממשיים או הישר הממשי, לאיברי \(\MKreal\) נקרא מספרים ממשיים או נקודות.
שדה סדור \(\MKfield\) ייקרא שלם אם יקיים את הפסוק הנקרא "אקסיומת השלמות":
לכל שתי קבוצות \(A,B\subseteq\MKfield\) שאינן ריקות המקיימות \(a\leq b\) לכל \(a\in A\) ולכל \(b\in B\),
קיים \(c\in\MKfield\) כך ש-\(a\leq c\leq b\) לכל \(a\in A\) ולכל \(b\in B\).
נסמן את השדה הסדור השלם12ניתן להוכיח שקיים רק שדה סדור שלם אחד (כל השדות הסדורים השלמים דומים עד כדי איזומורפיזם) ולכן מוצדק לקרוא לו "שדה הממשיים" בה"א הידיעה ותת לו סימון. ב-\(\MKreal\) ונקרא לו גם שדה המספרים הממשיים או הישר הממשי, לאיברי \(\MKreal\) נקרא מספרים ממשיים או נקודות.
מי אמר שניתן לחתוך את הקרש במקום הרצוי???
הגדרה 5.2. קבוצה \(I\subseteq\MKreal\) תיקרא מקטע אם לכל \(a,b\in I\) כך ש-\(a<b\) ולכל \(x\in\MKreal\) כך ש-\(a<x<b\) מתקיים \(x\in I\).
הגדרה 5.3. מקטעים שונים
יהיו \(a,b\in\MKreal\) המקיימים \(a<b\).
- קטע פתוח הוא קבוצה מהצורה: \(\left(a,b\right):=\left\{ x\in\MKreal:a<x<b\right\} \).
- קטע סגור הוא קבוצה מהצורה: \(\left[a,b\right]:=\left\{ x\in\MKreal:a\leq x\leq b\right\} \).
- קטעים חצי פתוחים-חצי סגורים (שני סוגים):
- קטע פתוח משמאל וסגור מימין הוא קבוצה מהצורה: \(\left(a,b\right]:=\left\{ x\in\MKreal:a<x\leq b\right\} \).
- קטע סגור משמאל ופתוח מימין הוא קבוצה מהצורה: \(\left[a,b\right):=\left\{ x\in\MKreal:a\leq x<b\right\} \).
- קרניים שונות (ארבעה סוגים):
- קרן ימנית פתוחה היא קבוצה מהצורה: \(\left(a,\infty\right):=\left\{ x\in\MKreal:a<x\right\} \).
- קרן ימנית סגורה היא קבוצה מהצורה: \(\left[a,\infty\right):=\left\{ x\in\MKreal:a\leq x\right\} \).
- קרן שמאלית פתוחה היא קבוצה מהצורה: \(\left(-\infty,a\right):=\left\{ x\in\MKreal:x<a\right\} \).
- קרן שמאלית סגורה היא קבוצה מהצורה: \(\left(-\infty,a\right]:=\left\{ x\in\MKreal:x\leq a\right\} \).
הגדרה 5.4. סביבה וסביבה מנוקבת
יהי \(x\in\MKreal\).
יהי \(x\in\MKreal\).
- סביבות דו-צדדיות:
- סביבה של \(x\) היא קטע פתוח \(\left(a,b\right)\) (כאשר \(a,b\in\MKreal\)) המקיים \(x\in\left(a,b\right)\).
- סביבה מנוקבת של \(x\) היא קבוצה מהצורה \(\left(a,b\right)\setminus\left\{ x\right\} \) (כאשר \(a,b\in\MKreal\)) המקיימת \(x\in\left(a,b\right)\).
- סביבות חד-צדדיות:
- סביבה חד-צדדית ימנית של \(x\) היא קטע פתוח מהצורה \(\left(x,b\right)\) כאשר \(x<b\in\MKreal\).
- סביבה חד-צדדית שמאלית של \(x\) היא קטע פתוח מהצורה \(\left(a,x\right)\) כאשר \(x>a\in\MKreal\).
הגדרה 5.5. יהיו \(0<r\in\MKreal\) ו-\(a\in\MKreal\).
- נסמן \(B_{r}\left(a\right):=\left\{ x\in\MKreal:\left|x-a\right|<r\right\} =\left(a-r,a+r\right)\) ונקרא ל-\(B_{r}\left(a\right)\) הכדור הפתוח שרדיוסו \(r\) ומרכזו \(a\) וגם סביבה סימטרית.
- נסמן \(B_{r}^{\circ}\left(a\right):=\left\{ x\in\MKreal:\left|x-a\right|<r\right\} =\left(a-r,a+r\right)\) ונקרא ל-\(B_{r}^{\circ}\left(a\right)\) הכדור הפתוח המנוקב שרדיוסו \(r\) ומרכזו \(a\) וגם סביבה סימטרית מנוקבת.
יהי \(\MKfield\) שדה סדור.
למה 5.6. נסמן \(4:=2+2\), מתקיים:
- לכל \(m,n\in\MKeven\) קיים \(k\in\MKinteger\) כך ש-\(m\cdot n=4k\).
- אם \(m,n\in\MKodd\) אז \(m\cdot n\in\MKodd\).
טענה 5.7. לא קיים \(q\in\MKrational\) כך ש-\(q^{2}=2\)13לכל \(x\in\MKreal\) נסמן \(x^{2}:=x\cdot x\)..
הוכחה. נניח בשלילה שקיים \(q\in\MKrational\) כך ש-\(q^{2}=2\), נשים לב לכך ש-\(q^{2}=2\) אם"ם \(\left(-q\right)^{2}=2\) ולכן ניתן להניח בהג"כ ש-\(q\) חיובי.
יהיו \(n,m\in\MKnatural\) כך ש-\(q=\frac{m}{n}\) ו-\(\frac{m}{n}\) היא ההצגה המצומצמת של \(q\).\[\begin{align*}
& \Rightarrow\frac{m^{2}}{n^{2}}=\left(\frac{m}{n}\right)^{2}=q^{2}=2\\
& \Rightarrow m^{2}=2n^{2}\\
& \Rightarrow m^{2}\in\MKeven\\
& \Rightarrow m\in\MKeven
\end{align*}\]מכאן שקיים \(k\in\MKnatural\) כך ש-\(m^{2}=4k\).\[\begin{align*}
& \Rightarrow4k=2n^{2}\\
& \Rightarrow2k=n^{2}\\
& \Rightarrow n^{2}\in\MKeven\\
& \Rightarrow n\in\MKeven
\end{align*}\]מכאן ש-\(2\) מחלק הן את \(n\) והן את \(m\) בסתירה לכך ש-\(\frac{m}{n}\) היא ההצגה המצומצמת של \(q\), א"כ הנחת השלילה אינה נכונה ולא קיים \(q\in\MKrational\) כך ש-\(q^{2}=2\).
טענה 5.8. כל קטע (מכל סוג) מכיל קטע מכל סוג.
טענה 5.9. כל קרן (מכל סוג) מכילה קטע מכל סוג.
טענה 5.10. יהי \(a\in\MKreal\), מתקיימים כל הפסוקים הבאים:
- החיתוך של כל שתי סביבות של \(a\) הוא סביבה של \(a\).
- החיתוך של שתי סביבות מנוקבות של \(a\) הוא סביבה מנוקבת של \(a\).
- כל סביבה של \(a\) מכילה סביבה סימטרית של \(a\), כלומר לכל סביבה \(U\) של \(a\) קיים \(0<r\in\MKreal\) כך ש-\(B_{r}\left(a\right)\subseteq U\).
- כל סביבה מנוקבת של \(a\) מכילה סביבה סימטרית מנוקבת של \(a\), כלומר לכל סביבה מנוקבת \(U\) של \(a\) קיים \(0<r\in\MKreal\) כך ש-\(B_{r}^{\textdegree}\left(a\right)\subseteq U\).
6 חסם עליון וחסם תחתון
6.1 הגדרות
יהא \(\MKfield\) שדה סדור.
הגדרה 6.1. חסם עליון וחסם תחתון
תהא \(A\subseteq\MKfield\) קבוצה לא ריקה.
תהא \(A\subseteq\MKfield\) קבוצה לא ריקה.
- נאמר ש-\(M\in\MKfield\) הוא חסם עליון (נקרא גם סופרמום) של \(A\) אם מתקיימים שני התנאים הבאים:
- \(M\) הוא חסם מלעיל של \(A\).
- לכל \(M'\in\MKfield\) המהווה חסם מלעיל של \(A\) מתקיים \(M\leq M'\).
מכיוון שניתן להוכיח שאם יש לקבוצה סופרמום אז הוא יחיד נסמן אותו ב-\(\sup A\). - נאמר ש-\(m\in\MKfield\) הוא חסם תחתון (נקרא גם אינפימום) של \(A\) אם מתקיימים שני התנאים הבאים:
- \(m\) הוא חסם מלרע של \(A\).
- לכל \(m'\in\MKfield\) המהווה חסם מלרע של \(A\) מתקיים \(m'\leq m\).
מכיוון שניתן להוכיח שאם יש לקבוצה סופרמום אז הוא יחיד נסמן אותו ב-\(\inf A\).
הגדרה 6.2. מינימום ומקסימום
תהא \(A\subseteq\MKfield\) קבוצה.
תהא \(A\subseteq\MKfield\) קבוצה.
- נאמר שיש ל-\(A\) מקסימום אם קיים \(M\in A\) המהווה חסם מלעיל של \(A\).
אותו \(M\) יקרא מקסימום של \(A\) ומכיוון שניתן להוכיח שאם הוא קיים אז הוא יחיד נסמן אותו ב-\(\max A\). - נאמר שיש ל-\(A\) מינימום אם קיים \(m\in A\) המהווה חסם מלרע של \(A\).
אותו \(m\) יקרא מינימום של \(A\) ומכיוון שניתן להוכיח שאם הוא קיים אז הוא יחיד נסמן אותו ב-\(\min A\).
יהי \(\MKfield\) שדה סדור.
משפט 6.3. יחידות החסם העליון ויחידות החסם התחתון
- תהא \(A\subseteq\MKfield\) קבוצה שיש לה חסם עליון ויהי \(M\in\MKfield\) חסם עליון של \(A\), אם \(M'\in\MKfield\) הוא חסם עליון של \(A\) אז \(M=M'\).
- תהא \(B\subseteq\MKfield\) קבוצה שיש לה חסם תחתון ויהי \(m\in\MKfield\) חסם תחתון של \(B\), אם \(m'\in\MKfield\) הוא חסם תחתון של \(B\) אז \(m=m'\).
משפט 6.4. אפיון נוסף לחסם עליון ולחסם תחתון
- תהא \(A\subseteq\MKfield\) קבוצה, מספר \(M\in\MKfield\) הוא החסם העליון של \(A\) אם"ם מתקיימים שני התנאים הבאים:
- \(M\) הוא חסם מלעיל של \(A\)
- לכל \(0<\varepsilon\in\MKfield\) קיים \(a\in A\) כך ש-\(M-\varepsilon<a\)
- תהא \(B\subseteq\MKfield\) קבוצה, מספר \(m\in\MKfield\) הוא החסם התחתון של \(B\) אם"ם מתקיימים שני התנאים הבאים:
- \(m\) הוא חסם מלרע של \(B\)
- לכל \(0<\varepsilon\in\MKfield\) קיים \(b\in B\) כך ש-\(m+\varepsilon>b\)
הוכחה. נוכיח את יחידות החסם העליון, ההוכחה עבור החסם התחתון דומה מאד.
- \(\Leftarrow\)נניח ש-\(M\in\MKfield\) הוא החסם העליון של \(A\), בפרט \(M\) הוא חסם מלעיל של \(A\); יהי \(0<\varepsilon\in\MKfield\) ונגדיר \(M':=M-\varepsilon<M\), אם לא קיים \(a\in A\) כך ש-\(M'=M-\varepsilon<a\) אז לכל \(a\in A\) מתקיים \(a\leq M'\) ומכאן ש-\(M'\) הוא חסם מלעיל של \(A\) בסתירה לכך ש-\(M'<M\) ו-\(M\) הוא החסם העליון, מכאן שקיים \(a\) כנ"ל.
- \(\Rightarrow\)נניח ש-\(M\in\MKfield\) מקיים את שני הפסוקים הנ"ל ויהי \(M\neq M'\in\MKfield\) חסם מלעיל של \(A\) ונגדיר \(\varepsilon:=\left|M-M'\right|\), כעת, אם \(M'<M\) אז \(\varepsilon=M-M'\) ומההנחה נובע שקיים \(a\in A\) כך ש-\(M'=M-\varepsilon<a\leq M\) בסתירה להיות \(M'\) חסם מלעיל של \(A\); מכאן ש-\(M<M'\) ומכיוון ש-\(M'\) היה שרירותי נדע שלכל חסם מלעיל \(M'\in\MKfield\) של \(A\) מתקיים \(M\leq M'\), כלומר \(M\) הוא החסם העליון של \(A\).
משפט 6.5. \(\:\)
- תהא \(A\subseteq\MKfield\) קבוצה שיש לה מקסימום, ל-\(A\) יש חסם עליון (יחיד) ואותו מקסימום שווה לו (כלומר גם הוא יחיד).
- תהא \(B\subseteq\MKfield\) קבוצה שיש לה מקסימום, ל-\(A\) יש חסם תחתון (יחיד) ואותו מינימום שווה לו (כלומר גם הוא יחיד).
טענה 6.6. לכל קבוצה סופית (שאינה ריקה) המוכלת בשדה סדור יש מקסימום ומינימום.
משפט 6.7. \(\:\)
- בשדה הסדור השלם (\(\MKreal\)), לכל קבוצה החסומה מלעיל יש חסם עליון.
- בשדה הסדור השלם (\(\MKreal\)), לכל קבוצה החסומה מלרע יש חסם תחתון.
- \(\clubsuit\)
- יש הלוקחים את החלק הראשון של משפט זה כאקסיומת השלמות (אלו טענות שקולות), כמובן שניתן היה גם לקחת את החלק השני.
הוכחה. נוכיח את המשפט עבור החסם העליון, ההוכחה עבור החסם התחתון דומה מאד.
תהא \(\emptyset\neq A\subseteq\MKreal\) קבוצה חסומה מלעיל, יהי \(M\in\MKreal\) חסם מלעיל של \(A\) מלעיל ונגדיר \(B:=\left\{ b\in\MKreal\mid\forall a\in A:b\geq a\right\} \), \(B\) אינה ריקה שכן \(M\in B\) ולכן מאקסיומת השלמות נובע שקיים \(c\in\MKreal\) כך ש-\(a\leq c\leq b\) לכל \(a\in A\) ולכל \(b\in B\). מהגדרה \(c\) הוא חסם מלעיל של \(A\) ומכיוון ש-\(B\) היא קבוצת החסמים מלעיל של \(A\) נקבל ש-\(c\) הוא החסם העליון של \(A\).
תהא \(\emptyset\neq A\subseteq\MKreal\) קבוצה חסומה מלעיל, יהי \(M\in\MKreal\) חסם מלעיל של \(A\) מלעיל ונגדיר \(B:=\left\{ b\in\MKreal\mid\forall a\in A:b\geq a\right\} \), \(B\) אינה ריקה שכן \(M\in B\) ולכן מאקסיומת השלמות נובע שקיים \(c\in\MKreal\) כך ש-\(a\leq c\leq b\) לכל \(a\in A\) ולכל \(b\in B\). מהגדרה \(c\) הוא חסם מלעיל של \(A\) ומכיוון ש-\(B\) היא קבוצת החסמים מלעיל של \(A\) נקבל ש-\(c\) הוא החסם העליון של \(A\).
משפט 6.8. ארכימדיות של \(\MKreal\)
בשדה הסדור השלם (\(\MKreal\)), \(\MKnatural\) אינה חסומה מלעיל; כלומר \(\MKreal\) הוא שדה ארכימדי.
בשדה הסדור השלם (\(\MKreal\)), \(\MKnatural\) אינה חסומה מלעיל; כלומר \(\MKreal\) הוא שדה ארכימדי.
הוכחה. נניח בשלילה ש-\(\MKnatural\) חסומה מלעיל ויהי \(M\in\MKreal\) החסם העליון של \(\MKnatural\) (קיים כזה ממשפט6.3), מהאפיון הנוסף של החסם העליון נובע שקיים \(n\in\MKnatural\) כך ש-\(M-1<n\), אותו \(n\) מקיים ש-\(M<n+1\) והרי \(n+1\in\MKnatural\) בסתירה להיותו של \(M\) חסם מלעיל של \(\MKnatural\), מכאן שהנחת השלילה אינה נכונה ו-\(\MKnatural\) אינה חסומה מלעיל.
מסקנה 6.9. בשדה הסדור השלם (\(\MKreal\)), \(\MKinteger\) אינה חסומה מלרע.
משפט 6.10. הרציונליים צפופים בממשיים
לכל \(x,y\in\MKreal\) המקיימים \(x<y\) קיים \(q\in\MKrational\) כך ש-\(x<q<y\).
לכל \(x,y\in\MKreal\) המקיימים \(x<y\) קיים \(q\in\MKrational\) כך ש-\(x<q<y\).
הוכחה. יהי \(x>m\in\MKinteger\) (קיים כזה מהמסקנה הקודמת) ויהי \(0<\frac{1}{y-x}<n\in\MKnatural\) ומכאן ש-\(0<\frac{1}{n}<y-x\) כעת נתבונן ב-\(\left\{ k\in\MKnatural:x<m+\frac{k}{n}\right\} \), זוהי קבוצה לא ריקה של טבעיים ומעקרון הסדר יש לה איבר מינימלי \(k\in\MKnatural\) המקיים (מהגדרתו) \(m+\frac{k-1}{n}\leq x<m+\frac{k}{n}\)14אם \(k=0\) אז \(m+\frac{k-1}{n}=m<x\). ומכאן ש-\(m+\frac{k}{n}<y\).
למה 6.11. תהיינה \(\emptyset\neq A,B\subseteq\MKreal\) כך ש-\(a\leq b\) לכל \(a\in A\) ולכל \(b\in B\), מתקיים \(\sup A\leq\inf B\).
משפט 6.12. למת החתכים
תהיינה \(\emptyset\neq A,B\subseteq\MKreal\) כך ש-\(a\leq b\) לכל \(a\in A\) ולכל \(b\in B\), הפסוקים הבאים שקולים:
תהיינה \(\emptyset\neq A,B\subseteq\MKreal\) כך ש-\(a\leq b\) לכל \(a\in A\) ולכל \(b\in B\), הפסוקים הבאים שקולים:
- קיים \(M\in\MKreal\) יחיד כך ש-\(a\leq M\leq b\) לכל \(a\in A\) ולכל \(b\in B\).
- \(\sup A=\inf B\).
- לכל \(0<\varepsilon\in\MKreal\) קיימים \(a\in A\) ו-\(b\in B\) כך ש-\(b-a<\varepsilon\).
- לכל \(0<\varepsilon\in\MKreal\) קיים \(a\in A\) כך ש-\(0\leq\inf B-a<\varepsilon\).
- לכל \(0<\varepsilon\in\MKreal\) קיים \(b\in B\) כך ש-\(0\leq b-\sup A<\varepsilon\).
טענה 6.13. תהיינה \(\emptyset\neq A,B\subseteq\MKreal\), מתקיים:
- אם \(A\) ו-\(B\) חסומות מלעיל אז \(\sup\left(A+B\right)=\sup\left(A\right)+\sup\left(B\right)\), ואם \(A\) ו-\(B\) חסומות מלרע אז \(\inf\left(A+B\right)=\inf\left(A\right)+\inf\left(B\right)\).
- יהי \(0\leq\beta\in\MKreal\); אם \(A\) חסומה מלעיל אז \(\sup\left(\beta\cdot A\right)=\beta\cdot\sup\left(A\right)\), ואם \(A\) חסומה מלרע אז \(\inf\left(\beta\cdot A\right)=\beta\cdot\inf\left(A\right)\).
- אם \(A,B\subseteq\left[0,\infty\right)\) אז \(\inf\left(A\cdot B\right)=\inf\left(A\right)\cdot\inf\left(B\right)\), ואם (בנוסף) \(A\) ו-\(B\) חסומות מלעיל אז \(\sup\left(A\cdot B\right)=\sup\left(A\right)\cdot\sup\left(B\right)\).
- אם \(A,B\subseteq\left(-\infty,0\right]\) אז \(\inf\left(A\cdot B\right)=\sup\left(A\right)\cdot\sup\left(B\right)\), ואם(בנוסף) \(A\) ו-\(B\) חסומות מלרע אז \(\sup\left(A\cdot B\right)=\inf\left(A\right)\cdot\inf\left(B\right)\).
\(\:\)
7 חזקות
7.1 הגדרות
יהי \(\MKfield\) שדה סדור.
הגדרה 7.1. חזקה טבעית
לכל \(x\in\MKfield\) נגדיר \(x^{1}:=x\) (קרי: \(x\) בחזקת \(1\)) ולכל \(k\in\MKnatural\) נגדיר \(x^{k+1}:=x^{k}\cdot x\) (קרי: \(x\) בחזקת \(k+1\))15הוכחנו באינדוקציה שכך \(x^{k}\) מוגדר היטב לכל \(k\in\MKnatural\)..
לכל \(x\in\MKfield\) נגדיר \(x^{1}:=x\) (קרי: \(x\) בחזקת \(1\)) ולכל \(k\in\MKnatural\) נגדיר \(x^{k+1}:=x^{k}\cdot x\) (קרי: \(x\) בחזקת \(k+1\))15הוכחנו באינדוקציה שכך \(x^{k}\) מוגדר היטב לכל \(k\in\MKnatural\)..
טענה 7.2. לכל \(a\in\MKfield\) ולכל \(n\in\MKnatural\) החזקה ה-\(n\)-ית של \(a\) (\(a^{n}\)) מוגדרת היטב.
הגדרה 7.3. חזקה שלמה
לכל \(x\in\MKfield\) נגדיר \(x^{0}:=1\) (קרי: \(x\) בחזקת \(0\)).
לכל \(x\in\MKfield\) ולכל \(0>m\in\MKinteger\) נגדיר:\[ x^{m}:=\frac{1}{x^{-m}} \]
לכל \(x\in\MKfield\) נגדיר \(x^{0}:=1\) (קרי: \(x\) בחזקת \(0\)).
לכל \(x\in\MKfield\) ולכל \(0>m\in\MKinteger\) נגדיר:\[ x^{m}:=\frac{1}{x^{-m}} \]
- \(\clubsuit\)
- נשים לב שהסימון \(a^{-1}\) עבור ההופכי של \(a\in\MKreal\) והסימון \(a^{-1}\) עבור "\(a\) בחזקת \(-1\)" מגדירים את אותו מספר ולכן אין לנו בעיה בסימון.
למה לא הגדרנו חזקה שלמה כשהבסיס הוא \(0\)? כי אז נקבל את \(0^{-1}\). - \(\clubsuit\)
- ניתן היה להגדיר את \(0^{0}\) להיות \(1\) או \(0\) כרצוננו (מבלי לקבל סתירה), אנו בחרנו להגדיר\(0^{0}:=1\) מפני שהדבר יקל עלינו בנוסחאות רבות בהמשך.
- \(\clubsuit\)
- ניתן להגדיר חזקות טבעיות ושלמות בכל שדה (לאו דווקא סדור) ומכיוון שההוכחות לכל חוקי החזקות שלא כללו אי-שוויונים משתמשות אך ורק באקסיומות השדה חוקים אלו חלים בכל שדה16למעשה, שני חוקי החזקות הראשונים במעריך טבעי (\(x^{m}\cdot x^{n}=x^{m+n}\) ו-\(\left(x^{m}\right)^{n}=x^{m\cdot n}\)) השתמשו רק בקיבוץ של הכפל והחוק השלישי (\(\left(x\cdot y\right)^{n}=x^{n}\cdot y^{n}\)) השתמש גם בחילוף; מסיבה זו הם תקפים אפילו בקבוצות שאינן שדות אך מוגדרת עליהן פעולת כפל המקיימת את התכונות הללו..
- \(\clubsuit\)
- למה לא הגדרנו חזקה רציונלית כשהבסיס שלילי? בגלל שא"א להגדיר זאת היטב, לדוגמה:\[ {\color{red}-5=}\left(-5\right)^{1}={\color{blue}\left(-5\right)^{\frac{6}{6}}}=\left(\left(-5\right)^{6}\right)^{\frac{1}{6}}=\left(5^{6}\right)^{\frac{1}{6}}{\color{red}=5} \]כמובן שניתן היה להביא כאן גם את: \(\left(\sqrt{-5}\right)^{4}={\color{blue}\left(-5\right)^{\frac{4}{2}}}=25\), מצד אחד \(25\) מוגדר היטב אך מצד שני \(\left(\sqrt{-5}\right)^{4}\) אינו מוגדר כלל; אולם איני בטוח שזה היה מהווה עילה שלא להגדיר זאת, מצד שני אולי זו הסיבה שלא הגדרנו חזקה רציונלית חיובית כשהבסיס הוא \(0\):\[ 0=0^{1}=0^{\frac{-1}{-1}}=\left(0^{-1}\right)^{\frac{1}{-1}}=\left(0^{-1}\right)^{-1} \]
- \(\clubsuit\)
- ניתן להגדיר חזקות ממשיות כבר כעת אולם אנו נעשה זאת רק בקובץ שיעסוק בפונקציות כדי להקל על הוכחת חוקי חזקות כשהמעריך ממשי, להלן ההגדרה שניתן להגדיר כבר כעת (כמובן שהגדרה זו וההגדרה שתובא בהמשך שקולות): לכל \(0<a\in\MKreal\) ולכל \(x\in\MKreal\) נגדיר:\[ a^{x}:=\begin{cases} \sup\left\{ a^{r}:r\in\MKrational,\ r<x\right\} & 1<a\\ 1 & a=1\\ \left(\frac{1}{a}\right)^{-x} & a<1 \end{cases} \]
- \(\clubsuit\)
- הטענה נכונה גם עבור א"ש חלש.
- \(\clubsuit\)
- שלושת חוקי החזקות הראשונים נכונים עבור כל פעולת כפל (על קבוצה כלשהי) המקיימת חילוף וקיבוץ.
- \(\clubsuit\)
- אם \(x<0\) אז לכל \(n\in\MKnatural\) מתקיים:\[ x^{n}=\begin{cases} \left(-x\right)^{n} & n\in\MKeven\\ -\left(-x\right)^{n} & n\in\MKodd \end{cases} \]ואם \(x=0\) אז \(x^{n}=0\) לכל \(n\in\MKnatural\).
- \(\clubsuit\)
- שלושת חוקי החזקות הראשונים נכונים עבור כל פעולת כפל (על קבוצה כלשהי) המקיימת חילוף וקיבוץ ובתנאי שלאיברים המדוברים יש איבר הופכי ביחס לפעולת הכפל.
- \(\clubsuit\)
- אם \(x<0\) אז לכל \(0\neq n\in\MKinteger\) מתקיים:\[ x^{n}=\begin{cases} \left(-x\right)^{n} & \left|n\right|\in\MKeven\\ -\left(-x\right)^{n} & \left|n\right|\in\MKodd \end{cases} \]
- \(\clubsuit\)
- ראינו בקובץ ההגדרות שניתן להגדיר \(0^{0}:=0\) או \(0^{0}:=1\) כרצוננו מבלי לקבל סתירה.
- \(\clubsuit\)
- חוקי חזקות אלו נכונים גם כשהמעריך ממשי.
- \(\clubsuit\)
- משפט זה הוא הכללה של נוסחת הכפל המקוצר \(a^{2}-b^{2}=\left(a+b\right)\left(a-b\right)\).
משפט. קיום ויחידות השורש
לכל \(0<x\in\MKreal\) ולכל \(n\in\MKnatural\) קיים \(0<y\in\MKreal\) יחיד כך ש-\(y^{n}=x\).
לכל \(0<x\in\MKreal\) ולכל \(n\in\MKnatural\) קיים \(0<y\in\MKreal\) יחיד כך ש-\(y^{n}=x\).
הגדרה 7.4. שורש
יהי \(0<x\in\MKreal\), לכל \(n\in\MKnatural\) השורש ה-\(n\)-י של \(x\) הוא \(0<y\in\MKreal\) היחיד שמקיים \(y^{n}=x\); נסמן את השורש ה-\(n\)-י של \(x\) ב-\(\sqrt[n]{x}\) או ב-\(x^{1/n}\).
יהי \(0<x\in\MKreal\), לכל \(n\in\MKnatural\) השורש ה-\(n\)-י של \(x\) הוא \(0<y\in\MKreal\) היחיד שמקיים \(y^{n}=x\); נסמן את השורש ה-\(n\)-י של \(x\) ב-\(\sqrt[n]{x}\) או ב-\(x^{1/n}\).
כמו כן לכל \(n\in\MKnatural\) נגדיר \(\sqrt[n]{0}:=0\) (המוטיבציה להגדרה ברורה).
למה. יהי \(0<x\in\MKreal\), לכל \(n,k\in\MKnatural\) ו-\(m,j\in\MKinteger\) המקיימים \(\frac{m}{n}=\frac{k}{j}\) מתקיים \(\left(x^{m}\right)^{\frac{1}{n}}=\left(x^{j}\right)^{\frac{1}{k}}\).
הגדרה 7.5. חזקה רציונלית
יהי \(q\in\MKrational\), לכל \(0<x\in\MKreal\) נגדיר:\[ x^{q}:=\left(x^{m}\right)^{\frac{1}{n}} \]כאשר \(m\) ו-\(n\) הם שלם וטבעי (\(m\in\MKinteger\), \(n\in\MKnatural\)) המקיימים \(q=\frac{m}{n}\).
יהי \(q\in\MKrational\), לכל \(0<x\in\MKreal\) נגדיר:\[ x^{q}:=\left(x^{m}\right)^{\frac{1}{n}} \]כאשר \(m\) ו-\(n\) הם שלם וטבעי (\(m\in\MKinteger\), \(n\in\MKnatural\)) המקיימים \(q=\frac{m}{n}\).
יהי \(\MKfield\) שדה סדור.
טענה 7.6. יהיו \(0<a,b\in\MKfield\) ו-\(n\in\MKnatural\), \(a<b\) אם"ם \(a^{n}<b^{n}\).
משפט 7.7. חוקי חזקות כשהמעריך טבעי
יהיו \(0\neq x,y\in\MKfield\) ו-\(n,m\in\MKnatural\), מתקיימים כל הפסוקים הבאים:
יהיו \(0\neq x,y\in\MKfield\) ו-\(n,m\in\MKnatural\), מתקיימים כל הפסוקים הבאים:
- \(x^{m}\cdot x^{n}=x^{m+n}\).
- \(\left(x^{m}\right)^{n}=x^{m\cdot n}\).
- \(\left(x\cdot y\right)^{n}=x^{n}\cdot y^{n}\).
- אם \(0<x<y\) אז \(x^{n}<y^{n}\)17סעיף זה נובע ישירות מטענה7.1..
- אם \(1<x\) ו-\(n<m\) אז \(x^{n}<x^{m}\).
- אם \(0<x<1\) ו-\(n<m\) אז \(x^{n}>x^{m}\).
הוכחה. את כל הסעיפים ניתן להוכיח בפשטות ע"י אינדוקציה.
משפט 7.8. חוקי חזקות כשהמעריך שלם
יהיו \(0\neq x,y\in\MKfield\) ו-\(n,m\in\MKinteger\), מתקיימים כל הפסוקים הבאים:
יהיו \(0\neq x,y\in\MKfield\) ו-\(n,m\in\MKinteger\), מתקיימים כל הפסוקים הבאים:
- \(x^{m}\cdot x^{n}=x^{m+n}\).
- \(\left(x^{m}\right)^{n}=x^{m\cdot n}\).
- \(\left(x\cdot y\right)^{n}=x^{n}\cdot y^{n}\).
- אם \(0<x<y\) ו-\(0<n\) אז \(x^{n}<y^{n}\).
- אם \(0<x<y\) ו-\(0>n\) אז \(x^{n}>y^{n}\).
- אם \(1<x\) ו-\(n<m\) אז \(x^{n}<x^{m}\).
- אם \(0<x<1\) ו-\(n<m\) אז \(x^{n}>x^{m}\).
הוכחה. סעיפים3-5נובעים ישירות מההגדרה והסעיפים המקבילים (3-4) עבור מעריך טבעי18בשביל סעיף5יש להשתמש גם בסעף6של טענה1.9., סעיפים1-2ו-6-7נובעים ישירות מהסעיפים המקבילים עבור מעריך טבעי (אם \(n,m\in\MKnatural\) או \(n,m\notin\MKnatural\)19בסעיפים5-6יש להשתמש גם בטענה 1.9סעיף6.) או מאינדוקציה על המעריך הטבעי מבין \(n,m\) (אם אחד מהם טבעי והשני אינו כזה).
משפט 7.9. אי-שוויון ברנולי20ערך בוויקיפדיה: ברנולי יאקוב.
לכל \(n\in\MKnatural\) ולכל \(-1<x\in\MKfield\) מתקיים \(\left(1+x\right)^{n}\geq1+nx\).
לכל \(n\in\MKnatural\) ולכל \(-1<x\in\MKfield\) מתקיים \(\left(1+x\right)^{n}\geq1+nx\).
הוכחה. יהי \(-1<x\in\MKfield\), נוכיח את הטענה באינדוקציה.
בסיס האינדוקציה טריוויאלי: \(\left(1+x\right)^{1}=1+x=1+1\cdot x\).
יהי \(n\in\MKnatural\), נניח ש-\(\left(1+x\right)^{n}\geq1+nx\)ונשים לב שמהגדרה \(0<1+x\).\[ \Rightarrow\left(1+x\right)^{n+1}=\left(1+x\right)^{n}\cdot\left(1+x\right)\geq\left(1+nx\right)\left(1+x\right)=1+nx+x+nx^{2}\geq1+\left(n+1\right)x \]
בסיס האינדוקציה טריוויאלי: \(\left(1+x\right)^{1}=1+x=1+1\cdot x\).
יהי \(n\in\MKnatural\), נניח ש-\(\left(1+x\right)^{n}\geq1+nx\)ונשים לב שמהגדרה \(0<1+x\).\[ \Rightarrow\left(1+x\right)^{n+1}=\left(1+x\right)^{n}\cdot\left(1+x\right)\geq\left(1+nx\right)\left(1+x\right)=1+nx+x+nx^{2}\geq1+\left(n+1\right)x \]
משפט 7.10. קיום ויחידות השורש
לכל \(0<x\in\MKreal\) ולכל \(n\in\MKnatural\) קיים \(0<y\in\MKreal\) יחיד כך ש-\(y^{n}=x\).
לכל \(0<x\in\MKreal\) ולכל \(n\in\MKnatural\) קיים \(0<y\in\MKreal\) יחיד כך ש-\(y^{n}=x\).
הוכחה. יהיו \(0<x\in\MKreal\) ו-\(n\in\MKnatural\).
מטענה 7.1(ומטריכוטומיה) נובע שאם קיים \(y\) כזה אז הוא יחיד.
נגדיר \(S:=\left\{ 0\leq z\in\MKreal\mid z^{n}<x\right\} \), קבוצה זו אינה ריקה שכן \(0\in S\) והיא חסומה מלעיל מפני שלכל \(z\in S\) מתקיים \(z^{n}<\left(1+x\right)^{n}\) ולכן מטענה 7.1גם \(z<1+x\), מכאן שיש ל-\(S\) חסם עליון, א"כ נגדיר \(y:=\sup S\).
נוכיח ש-\(0<y\): נשים לב לכך ש-\(0<\frac{x}{1+x}<1\) ולכן גם \(\left(\frac{x}{1+x}\right)^{n}<\frac{x}{1+x}<x\) ומכאן ש-\(\frac{x}{1+x}\in S\) וממילא \(0<\frac{x}{1+x}\leq y\).
נשלול את \(y^{n}<x\) ואת \(y^{n}>x\) ומטריכוטומיה נקבל ש-\(y^{n}=x\).
מטענה 7.1(ומטריכוטומיה) נובע שאם קיים \(y\) כזה אז הוא יחיד.
נגדיר \(S:=\left\{ 0\leq z\in\MKreal\mid z^{n}<x\right\} \), קבוצה זו אינה ריקה שכן \(0\in S\) והיא חסומה מלעיל מפני שלכל \(z\in S\) מתקיים \(z^{n}<\left(1+x\right)^{n}\) ולכן מטענה 7.1גם \(z<1+x\), מכאן שיש ל-\(S\) חסם עליון, א"כ נגדיר \(y:=\sup S\).
נוכיח ש-\(0<y\): נשים לב לכך ש-\(0<\frac{x}{1+x}<1\) ולכן גם \(\left(\frac{x}{1+x}\right)^{n}<\frac{x}{1+x}<x\) ומכאן ש-\(\frac{x}{1+x}\in S\) וממילא \(0<\frac{x}{1+x}\leq y\).
נשלול את \(y^{n}<x\) ואת \(y^{n}>x\) ומטריכוטומיה נקבל ש-\(y^{n}=x\).
- נניח בשלילה ש-\(y^{n}<x\), מכאן ש-\(0<\frac{y^{n}}{x}<1\) ולכן גם:\[ 0<\frac{1-\frac{y^{n}}{x}}{n} \]יהי \(0<\varepsilon\in\MKreal\) כך שמתקיים:\[ \varepsilon<1,\ \varepsilon<\frac{1-\frac{y^{n}}{x}}{n} \]\[\begin{align*} & \Rightarrow n\varepsilon<1-\frac{y^{n}}{x}\\ & \Rightarrow\frac{y^{n}}{x}<1+n\cdot\left(-\varepsilon\right) \end{align*}\]נשים לב לכך ש-\(-1<-\varepsilon\) (וגם \(0<1-\varepsilon\)) ולכן מא"ש ברנולי נובע שמתקיים:\[ \frac{y^{n}}{x}<1+n\cdot\left(-\varepsilon\right)\leq\left(1-\varepsilon\right)^{n} \]\[\begin{align*} & \Rightarrow0\leq\left(\frac{y}{1-\varepsilon}\right)^{n}=\frac{y^{n}}{\left(1-\varepsilon\right)^{n}}<x\\ & \Rightarrow\frac{y}{1-\varepsilon}\in S \end{align*}\]אבל \(\frac{y}{1-\varepsilon}>y\) בסתירה להיות \(y\) חסם מלעיל של \(S\), מכאן שהנחת השלילה אינה נכונה ו-\(y^{n}\geq x\).
- כעת נניח בשלילה ש-\(y^{n}>x\), מכאן ש-\(0<\frac{x}{y^{n}}<1\) ולכן גם:\[ 0<\frac{1-\frac{x}{y^{n}}}{n} \]יהי \(0<\varepsilon'\in\MKreal\) כך שמתקיים:\[ \varepsilon'<1,\ \varepsilon'<\frac{1-\frac{x}{y^{n}}}{n} \]\[\begin{align*} & \Rightarrow n\varepsilon<1-\frac{x}{y^{n}}\\ & \Rightarrow\frac{x}{y^{n}}<1+n\cdot\left(-\varepsilon\right) \end{align*}\]נשים לב לכך ש-\(-1<-\varepsilon'\) (וגם \(0<1-\varepsilon'\)) ולכן מא"ש ברנולי נובע שמתקיים:\[ \frac{x}{y^{n}}<1+n\cdot\left(-\varepsilon\right)\leq\left(1-\varepsilon\right)^{n} \]\[ \Rightarrow x<y^{n}\cdot\left(1-\varepsilon\right)^{n}=\left[y\cdot\left(1-\varepsilon\right)\right]^{n} \]מטענה 7.1נובע שלכל \(z\in S\) מתקיים \(z<y\cdot\left(1-\varepsilon\right)\) ומכאן ש-\(y\cdot\left(1-\varepsilon\right)\) הוא חסם מלעיל של \(S\), אבל \(y\cdot\left(1-\varepsilon\right)<y\) בסתירה לכך ש-\(y\) הוא החסם העליון של \(S\); מכאן שהנחת השלילה אינה נכונה ו-\(y^{n}\leq x\).\[ \Rightarrow y^{n}=x \]
משפט 7.11. האי-רציונליים צפופים בממשיים
לכל \(x,y\in\MKreal\) כך ש-\(x<y\) קיים \(\gamma\in\MKreal\setminus\MKrational\) כך ש-\(x<\gamma<y\).
לכל \(x,y\in\MKreal\) כך ש-\(x<y\) קיים \(\gamma\in\MKreal\setminus\MKrational\) כך ש-\(x<\gamma<y\).
הוכחה. יהיו \(x,y\in\MKreal\) כך ש-\(x<y\).
מצפיפות הרציונליים בממשיים נובע שקיים \(q\in\MKrational\) כך ש-\(x<q<y\), יהי \(q\) כנ"ל.
מהארכימדיות של \(\MKreal\) נובע שקיים \(n\in\MKnatural\) כך ש-\(n>\frac{\sqrt{2}}{y-q}\)\[ \Rightarrow x<q<q+\frac{\sqrt{2}}{n}<y \]מהיות \(\MKrational\) שדה נובע ש-\(q+\frac{\sqrt{2}}{n}\notin\MKrational\), א"כ \(q+\frac{\sqrt{2}}{n}\) מקיים את המבוקש.
מצפיפות הרציונליים בממשיים נובע שקיים \(q\in\MKrational\) כך ש-\(x<q<y\), יהי \(q\) כנ"ל.
מהארכימדיות של \(\MKreal\) נובע שקיים \(n\in\MKnatural\) כך ש-\(n>\frac{\sqrt{2}}{y-q}\)\[ \Rightarrow x<q<q+\frac{\sqrt{2}}{n}<y \]מהיות \(\MKrational\) שדה נובע ש-\(q+\frac{\sqrt{2}}{n}\notin\MKrational\), א"כ \(q+\frac{\sqrt{2}}{n}\) מקיים את המבוקש.
למה 7.12. יהי \(0<x\in\MKreal\), לכל \(n,k\in\MKnatural\) ו-\(m,j\in\MKinteger\) המקיימים \(\frac{m}{n}=\frac{k}{j}\) מתקיים \(\left(x^{m}\right)^{\frac{1}{n}}=\left(x^{j}\right)^{\frac{1}{k}}\).
הוכחה. יהיו \(a,c\in\MKinteger\) ו-\(b,d\in\MKnatural\) כך ש-\(\frac{a}{b}=\frac{c}{d}\).\[
\Rightarrow\left({\color{red}\left(x^{a}\right)^{\frac{1}{b}}}\right)^{{\color{blue}b}d}=\left(\left(\left(x^{a}\right)^{{\color{blue}\frac{1}{b}}}\right)^{{\color{blue}b}}\right)^{d}=\left(x^{a}\right)^{d}=x^{ad}=x^{bc}=\left(x^{c}\right)^{b}=\left(\left(\left(x^{c}\right)^{{\color{blue}\frac{1}{d}}}\right)^{{\color{blue}d}}\right)^{b}=\left({\color{red}\left(x^{c}\right)^{\frac{1}{d}}}\right)^{bd}
\]מיחידות השורש נובע ש-\(\left(x^{a}\right)^{\frac{1}{b}}=\left(x^{c}\right)^{\frac{1}{d}}\).
משפט 7.13. חוקי חזקות כשהמעריך רציונלי
יהיו \(0<x,y\in\MKreal\) ו-\(q,r\in\MKrational\), מתקיימים כל הפסוקים הבאים:
יהיו \(0<x,y\in\MKreal\) ו-\(q,r\in\MKrational\), מתקיימים כל הפסוקים הבאים:
- \(x^{q}\cdot x^{r}=x^{q+r}\).
- \(\left(x^{q}\right)^{r}=x^{q\cdot r}\).
- \(\left(x\cdot y\right)^{q}=x^{q}\cdot y^{q}\).
- אם \(0<x<y\) ו-\(0<q\) אז \(x^{q}<y^{q}\), כמו כן אם \(0<x<y\) ו-\(0>q\) אז \(x^{q}>y^{q}\).
- אם \(1<x\) ו-\(q<r\) אז \(x^{q}<x^{r}\).
- אם \(0<x<1\) ו-\(q<r\) אז \(x^{q}>x^{r}\).
הוכחה. יהיו \(a,c\in\MKinteger\) ו-\(b,d\in\MKnatural\) כך ש-\(q=\frac{a}{b}\) ו-\(r=\frac{c}{d}\), ההוכחות לסעיפים1-3משתמשו ביחידות השורש.
- \[\begin{align*} \left(x^{q}\cdot x^{r}\right)^{bd} & =\left(x^{{\color{red}q}}\right)^{bd}\cdot\left(x^{{\color{red}r}}\right)^{bd}=\left(\left(x^{{\color{red}a}}\right)^{{\color{red}\frac{1}{b}}}\right)^{{\color{blue}b}d}\cdot\left(\left(x^{{\color{red}c}}\right)^{{\color{red}\frac{1}{d}}}\right)^{b{\color{blue}d}}=\left(\left(\left(x^{a}\right)^{{\color{blue}\frac{1}{b}}}\right)^{{\color{blue}b}}\right)^{d}\cdot\left(\left(\left(x^{c}\right)^{{\color{blue}\frac{1}{d}}}\right)^{{\color{blue}d}}\right)^{b}=\left(x^{a}\right)^{d}\cdot\left(x^{c}\right)^{b}\\ & =x^{ad}\cdot x^{bc}=x^{ad+bc}=\left(\left(x^{ad+bc}\right)^{{\color{blue}\frac{1}{bd}}}\right)^{{\color{blue}bd}}=\left(x^{{\color{red}\frac{ad+bc}{bd}}}\right)^{bd}=\left(x^{{\color{red}\left(\frac{a}{b}+\frac{c}{d}\right)}}\right)^{bd}=\left(x^{{\color{red}q+r}}\right)^{bd} \end{align*}\]\[ \Rightarrow x^{q}\cdot x^{r}=x^{q+r} \]
- \[\begin{align*} \left(\left(x^{q}\right)^{{\color{red}r}}\right)^{bd} & =\left(\left(\left(x^{q}\right)^{{\color{red}c}}\right)^{{\color{red}\frac{1}{d}}}\right)^{b{\color{blue}d}}=\left(\left(\left(\left(x^{q}\right)^{c}\right)^{{\color{blue}\frac{1}{d}}}\right)^{{\color{blue}d}}\right)^{b}=\left(\left(x^{{\color{red}q}}\right)^{{\color{green}c}}\right)^{b}=\left(\left(x^{{\color{red}a}}\right)^{{\color{red}\frac{1}{b}}}\right)^{{\color{blue}b}{\color{green}c}}=\left(\left(\left(x^{a}\right)^{{\color{blue}\frac{1}{b}}}\right)^{{\color{blue}b}}\right)^{c}\\ & =\left(x^{a}\right)^{c}=x^{ac}=\left(\left(x^{ac}\right)^{{\color{blue}\frac{1}{bd}}}\right)^{{\color{blue}bd}}=\left(x^{\left(\frac{ac}{bd}\right)}\right)^{bd}=\left(x^{\left({\color{red}\frac{a}{b}\cdot\frac{c}{d}}\right)}\right)^{bd}=\left(x^{{\color{red}q\cdot r}}\right)^{bd} \end{align*}\]\[ \Rightarrow\left(x^{q}\right)^{r}=x^{q\cdot r} \]
- \[ \left(\left(x\cdot y\right)^{{\color{purple}q}}\right)^{b}=\left(\left(\left(x\cdot y\right)^{{\color{red}a}}\right)^{{\color{blue}\frac{1}{b}}}\right)^{{\color{blue}b}}=\left(x\cdot y\right)^{a}=x^{a}\cdot y^{a}=\left(\left(x^{{\color{red}a}}\right)^{{\color{blue}\frac{1}{b}}}\right)^{{\color{blue}b}}\cdot\left(\left(y^{{\color{red}a}}\right)^{{\color{blue}\frac{1}{b}}}\right)^{{\color{blue}b}}=\left(x^{{\color{purple}q}}\right)^{b}\cdot\left(y^{{\color{purple}q}}\right)^{b}=\left(x^{q}\cdot y^{q}\right)^{b} \]\[ \Rightarrow\left(x\cdot y\right)^{q}=x^{q}\cdot y^{q} \]
- נניח ש-\(0<x<y\) ו-\(0<q\).\[ \left(x^{{\color{purple}q}}\right)^{b}=\left(\left(x^{{\color{red}a}}\right)^{{\color{blue}\frac{1}{b}}}\right)^{{\color{blue}b}}=x^{a}<y^{a}=\left(\left(y^{{\color{red}a}}\right)^{{\color{blue}\frac{1}{b}}}\right)^{{\color{blue}b}}=\left(y^{{\color{purple}q}}\right)^{b} \]מהסעיפים המקבילים עבור מעריך שלם נקבל ש-\(x^{q}<y^{q}\). אם \(q<0\) אז \(0<-q\) ולכן מהחלק הקודם של ההוכחה ומטענה 1.9סעיף6נקבל את המבוקש.
- נתון \(q<r\), מכאן ש-\(q=\frac{ad}{bd}<\frac{cb}{bd}=r\) ומכאן \(ad<bc\).\[\begin{align*} & \Rightarrow x^{ad}<x^{bc}\\ & \Rightarrow\left(\left(x^{ad}\right)^{{\color{blue}\frac{1}{bd}}}\right)^{{\color{blue}bd}}<\left(\left(x^{cb}\right)^{{\color{blue}\frac{1}{bd}}}\right)^{{\color{blue}bd}}\\ & \Rightarrow x^{{\color{red}q}}=\left(x^{{\color{red}a}d}\right)^{\frac{1}{{\color{red}b}d}}<\left(x^{b{\color{red}c}}\right)^{\frac{1}{b{\color{red}d}}}=x^{{\color{red}r}} \end{align*}\]
- נתון ש-\(0<x<1\) ומכאן ש-\(0<1<x^{-1}\), מהסעיף הקודם נובע שמתקיים:\[ 0<\left(x^{-1}\right)^{q}<\left(x^{-1}\right)^{r} \]\[\begin{align*} & \Rightarrow0<\left(x^{q}\right)^{-1}<\left(x^{r}\right)^{-1}\\ & \Rightarrow0<x^{r}<x^{q} \end{align*}\]
משפט 7.14. לכל \(a,b\in\MKfield\) ולכל \(n\in\MKnatural_{0}\) מתקיים:\[
a^{n}-b^{n}=\left(a-b\right)\cdot\sum_{k=0}^{n-1}a^{n-1-k}\cdot b^{k}
\]
הוכחה. יהיו \(a,b\in\MKfield\), לכל \(n-1\geq k\in\MKnatural\) מתקיים:\[
a^{n-k}\cdot b^{k}=a^{n-1-\left(k-1\right)}\cdot b^{k+1-1}
\]\[
\Rightarrow\sum_{k=1}^{n-1}a^{n-k}\cdot b^{k}=\sum_{k=1}^{n-1}a^{n-1-\left(k-1\right)}\cdot b^{k+1-1}=\sum_{k=0}^{n-2}a^{n-1-k}\cdot b^{k+1}
\]\[\begin{align*}
\Rightarrow\left(a-b\right)\cdot\sum_{k=0}^{n-1}a^{n-1-k}\cdot b^{k} & =a\cdot\sum_{k=0}^{n-1}a^{n-1-k}\cdot b^{k}-b\cdot\sum_{k=0}^{n-1}a^{n-1-k}\cdot b^{k}\\
& =\sum_{k=0}^{n-1}a^{n-k}\cdot b^{k}-\sum_{k=0}^{n-1}a^{n-1-k}\cdot b^{k+1}\\
& =a^{n}+\sum_{k=1}^{n-1}a^{n-k}\cdot b^{k}-\sum_{k=0}^{n-2}a^{n-1-k}\cdot b^{k+1}+b^{n}
\end{align*}\]